समुच्चय

अध्याय 1: समुच्चय (Sets) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स (Quick Revision Notes)

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1. समुच्चय की परिभाषा (Definition of a Set)

• समुच्चय: वस्तुओं का एक सुपरिभाषित (well-defined) संग्रह समुच्चय कहलाता है।
• इसे आमतौर पर अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों (A, B, C, X, Y आदि) द्वारा दर्शाया जाता है और इसके अवयवों को मंजिले कोष्ठक { } के अंदर लिखा जाता है।

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2. समुच्चय को निरूपित करने की विधियाँ (Methods of Representing Sets)

1. रोस्टर रूप या सारणी रूप (Roster or Tabular Form): इसमें सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है और अल्पविराम (commas) से अलग किया जाता है।

• उदाहरण: A = {2, 4, 6, 8}

2. समुच्चय निर्माण रूप (Set-Builder Form): इसमें अवयवों का एक सामान्य गुणधर्म लिखा जाता है।

• उदाहरण: A = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है और x < 10}

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3. समुच्चय के प्रकार (Types of Sets)

• रिक्त समुच्चय (Empty/Null Set): ऐसा समुच्चय जिसमें कोई भी अवयव न हो। इसे \phi या { } से दर्शाया जाता है।
• परििमित समुच्चय (Finite Set): ऐसा समुच्चय जिसके अवयवों की संख्या निश्चित (गिनने योग्य) हो।
• अपरिमित समुच्चय (Infinite Set): ऐसा समुच्चय जिसके अवयवों की संख्या असीमित हो।
• समान समुच्चय (Equal Sets): दो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं यदि उनके अवयव बिल्कुल एक समान हों (A = B)।
• उपसमुच्चय (Subset): यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव समुच्चय B का भी अवयव है, तो A को B का उपसमुच्चय कहते हैं। इसे A \subset B लिखा जाता है।
• घात समुच्चय (Power Set): किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह को A का घात समुच्चय कहते हैं। इसे P(A) से दर्शाया जाता है।
• यदि समुच्चय A में अवयवों की संख्या n है, तो P(A) में अवयवों की संख्या = 2^n होगी।
• सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set): एक ऐसा बड़ा समुच्चय जिसके अंतर्गत चर्चा के सभी समुच्चय आते हैं। इसे U से दर्शाया जाता है।

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4. वेन आरेख (Venn Diagrams)

समुच्चयों के बीच संबंधों को आयतों और वृत्तों द्वारा प्रदर्शित करने वाले चित्रों को वेन आरेख कहते हैं।

• आयत U (सार्वत्रिक समुच्चय) को दर्शाता है।
• वृत्त अन्य उपसमुच्चयों को दर्शाते हैं।

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5. समुच्चयों पर संक्रियाएँ (Operations on Sets)

1. समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets):

A और B का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें A और B दोनों के सभी अवयव होते हैं (उभयनिष्ठ अवयव केवल एक बार आते हैं)।

• प्रतीक: A \cup B = {x : x \in A \text{ या } x \in B}

2. समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Sets):

A और B का सर्वनिष्ठ वह समुच्चय है जिसमें A और B दोनों के उभयनिष्ठ (common) अवयव होते हैं।

• प्रतीक: A \cap B = {x : x \in A \text{ और } x \in B}
• यदि A \cap B = \phi, तो A और B असंयुक्त समुच्चय (Disjoint Sets) कहलाते हैं।

3. समुच्चय का अंतर (Difference of Sets):

A और B का अंतर (A - B) उन अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं।

• A - B = {x : x \in A \text{ और } x \notin B}

4. पूरक समुच्चय (Complement of a Set):

सार्वत्रिक समुच्चय U और समुच्चय A के अंतर को A का पूरक समुच्चय कहते हैं।

• प्रतीक: A' या A^c = U - A = {x : x \in U \text{ और } x \notin A}

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6. पूरक समुच्चय के गुणधर्म (Properties of Complement Sets)

1. पूरक नियम (Complement Laws):

• A \cup A' = U
• A \cap A' = \phi

2. डी मॉर्गन नियम (De Morgan's Laws):

• (A \cup B)' = A' \cap B'
• (A \cap B)' = A' \cup B'

3. द्विपूरक नियम (Law of Double Complement):

• (A')' = A

4. रिक्त और सार्वत्रिक समुच्चय के गुण:

• \phi' = U
• U' = \phi

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7. व्यावहारिक समस्याओं के लिए महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas for Practical Problems)

यदि A, B और C परिमित समुच्चय हैं, तो निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:

1. n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

2. यदि A और B असंयुक्त समुच्चय हैं (A \cap B = \phi), तो:

n(A \cup B) = n(A) + n(B)

3. n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)

4. n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)