त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

त्रivिमय ज्यामिति का परिचय (Introduction to Three Dimensional Geometry) - त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स

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### अवधारणा 1: त्रिविम निर्देशांक निकाय (Three-Dimensional Coordinate System)

• अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को निर्धारित करने के लिए तीन परस्पर लंबवत रेखाओं की आवश्यकता होती है, जिन्हें X-अक्ष, Y-अक्ष और Z-अक्ष कहते हैं।
• इन तीनों अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु (Origin, O) कहते हैं, जिसके निर्देशांक (0, 0, 0) होते हैं।
• अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु P तीन वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म (x, y, z) द्वारा दर्शाया जाता है, जिन्हें बिंदु P के निर्देशांक कहते हैं।
• ये तीन अक्ष अंतरिक्ष को आठ भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें अष्टक्रांत (Octants) कहा जाता है।

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### अवधारणा 2: अष्टक्रांत (Octants) के चिह्न परिपाटी

बिंदु (x, y, z) के विभिन्न अष्टक्रांतों में चिन्ह इस प्रकार होते हैं:

| अष्टक्रांत | प्रथम (I) | द्वितीय (II) | तृतीय (III) | चतुर्थ (IV) | पंचम (V) | षष्ठ (VI) | सप्तम (VII) | अष्टम (VIII) |

| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |

| x | + | - | - | + | + | - | - | + |

| y | + | + | - | - | + | + | - | - |

| z | + | + | + | + | - | - | - | - |

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### महत्वपूर्ण सूत्र (Key Formulas)

#### 1. दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance Formula)

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु P(x1, y1, z1) और Q(x2, y2, z2) दिए गए हैं, तो उनके बीच की दूरी PQ निम्नलिखित है:

PQ = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

विशेष स्थिति: मूल बिंदु O(0, 0, 0) से किसी बिंदु P(x, y, z) की दूरी:

OP = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

#### 2. विभाजन सूत्र (Section Formula)

यदि बिंदु P(x1, y1, z1) और Q(x2, y2, z2) को मिलाने वाले रेखाखंड को कोई बिंदु R(x, y, z) m:n के अनुपात में विभाजित करता है:

• अंतः विभाजन (Internal Division):

x = (mx2 + nx1) / (m + n)

y = (my2 + ny1) / (m + n)

z = (mz2 + nz1) / (m + n)

• बाह्य विभाजन (External Division):

x = (mx2 - nx1) / (m - n)

y = (my2 - ny1) / (m - n)

z = (mz2 - nz1) / (m - n)

• मध्य बिंदु के निर्देशांक (Mid-point Formula):

यदि R रेखाखंड PQ का मध्य बिंदु है (अर्थात m:n = 1:1), तो:

x = (x1 + x2) / 2

y = (y1 + y2) / 2

z = (z1 + z2) / 2

#### 3. त्रिभुज का केंद्रक (Centroid of a Triangle)

यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z_3) हैं, तो उसके केंद्रक (x, y, z) के निर्देशांक होंगे:

x = (x1 + x2 + x_3) / 3

y = (y1 + y2 + y_3) / 3

z = (z1 + z2 + z_3) / 3

#### 4. चतुष्फलक का केंद्रक (Centroid of a Tetrahedron)

यदि चतुष्फलक के चार शीर्ष दिए गए हों, तो केंद्रक:

x = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4

y = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4

z = (z1 + z2 + z3 + z4) / 4

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### त्वरित उपाय / परीक्षा के लिए मुख्य बिंदु (Quick Tips for MP Board)

1. यदि कोई बिंदु X-अक्ष पर स्थित है, तो उसके निर्देशांक (x, 0, 0) के रूप में होंगे।

2. यदि कोई बिंदु XY-तल (Plane) पर स्थित है, तो उसका z-निर्देशांक शून्य होगा, अर्थात (x, y, 0)।

3. दूरी हमेशा धनात्मक होती है, अतः सूत्र में वर्गमूल के बाद धनात्मक मान ही लें।

4. मध्य बिंदु और केंद्रक के सूत्र परीक्षा में सीधे 1 या 2 नंबर के वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में पूछे जाते हैं, इन्हें अच्छे से याद रखें।