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सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जिसके अंतर्गत आंकड़ों (Data) का संग्रह, प्रस्तुति, विश्लेषण और व्याख्या की जाती है। आंकड़े दो प्रकार के होते हैं:
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अपकिरण यह बताता है कि आंकड़े अपने केंद्रीय मान (Central Tendency) के चारों ओर किस प्रकार फैले हुए हैं।
#### (क) माध्य विचलन (Mean Deviation - M.D.)
किसी दिए गए आंकड़ों के समूह के माध्य (या माध्यिका) से विचलनों के निरपेक्ष मानों (Absolute values) के माध्य को माध्य विचलन कहते हैं।
M.D.(Mean) = Σ|x_i - X̄| / nM.D.(Mean) = Σfi|xi - X̄| / N(यहाँ N = Σf_i और X̄ माध्य है)
M.D.(Median) = Σ|x_i - M| / nM.D.(Median) = Σfi|xi - M| / N(यहाँ M माध्यिका है)
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#### (ख) प्रसरण (Variance - σ^2)
प्रसरण सभी प्रेक्षणों के माध्य से विचलनों के वर्गों का औसत होता है।
σ^2 = Σ(x_i - X̄)^2 / n
या वैकल्पिक सूत्र: σ^2 = [Σ(x_i)^2 / n] - (X̄)^2
σ^2 = Σfi(xi - X̄)^2 / N
या वैकल्पिक सूत्र: σ^2 = [Σfi(xi)^2 / N] - [Σfi xi / N]^2
(यहाँ N = Σf_i)
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#### (ग) मानक विचलन (Standard Deviation - σ)
प्रसरण के धनात्मक वर्गमूल को मानक विचलन कहते हैं। इसे ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) से दर्शाया जाता है।
σ = √(प्रसरण) = √[Σ(x_i - X̄)^2 / n]
वर्गीकृत आंकड़ों के लिए: σ = √[Σfi(xi - X̄)^2 / N]
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जब माध्य दशमलव में आता है, तब कल्पित माध्य (Assumed Mean, A) का उपयोग किया जाता है।
σ = h × √[ (Σfi yi^2 / N) - (Σfi yi / N)^2 ]
जहाँ yi = (xi - A) / h है, और h वर्ग अंतराल की माप है।
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विचरण गुणांक का उपयोग दो या दो से अधिक समूहों की स्थिरता (Consistency) या परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए किया जाता है। जिस समूह का C.V. कम होता है, वह अधिक स्थिर (Consistent) होता है।
C.V. = (σ / X̄) × 100
(जहाँ σ = मानक विचलन, और X̄ = माध्य)
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1. माध्य विचलन हमेशा माध्यिका (Median) से न्यूनतम होता है।
2. मानक विचलन हमेशा धनात्मक होता है।
3. यदि सभी प्रेक्षणों में कोई अचर राशि k जोड़ दी जाए या घटा दी जाए, तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है।
4. यदि सभी प्रेक्षणों को किसी अचर राशि k से गुणा कर दिया जाए, तो नया मानक विचलन |k| गुना हो जाता है।