द्विघात समीकरण

उत्तर (Answer): ### हल #### कदम 1: $a$, $b$, और $c$ के मानों की पहचान करें\nदिया गया बहुपदीय समीकरण $2x^2 + 5x + 3 = 0$ में, $a = 2$, $b = 5$, और $c = 3$ हैं। #### कदम 2: मूलों का योग गणना\nफॉर्मूला $S = \frac{-b}{a}$ का उपयोग करके, हम मूलों का योग $\frac{-5}{2}$ के रूप में गणना कर सकते हैं। #### कदम 3: मूलों का गुणनफल गणना\nफॉर्मूला $P = \frac{c}{a}$ का उपयोग करके, हम मूलों का गुणनफल $\frac{3}{2}$ के रूप में गणना कर सकते हैं। #### निष्कर्ष\nबहुपदीय समीकरण $2x^2 + 5x + 3 = 0$ के मूलों का योग $\frac{-5}{2}$ है और मूलों का गुणनफल $\frac{3}{2}$ है।

उत्तर (Answer): ### बहुपदीय समीकरण का हल #### कदम 1: दिया गया समीकरण को मानक रूप के साथ तुलना करें\nदिया गया समीकरण है $x^2 + 4x + 4 = 0$, जो मानक रूप के साथ तुलना किया जा सकता है $ax^2 + bx + c = 0$. #### कदम 2: विभेदक की गणना\nबहुपदीय समीकरण का विभेदक दिया गया है $D = b^2 - 4ac$। इस मामले में, $a = 1$, $b = 4$, और $c = 4$ है। इसलिए, $D = (4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. #### कदम 3: मूलों की प्रकृति का निर्धारण\nक्योंकि विभेदक शून्य है, बहुपदीय समीकरण में समान मूल हैं। मूलों की गणना करने के लिए, फॉर्मूला $x = \frac{-b}{2a}$ का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, $x = \frac{-4}{2(1)} = -2$. #### निष्कर्ष\nबहुपदीय समीकरण $x^2 + 4x + 4 = 0$ में समान मूल हैं, जिनमें से दोनों $-2$ हैं।

उत्तर (Answer): ### प्रस्तावना\nविचारांश एक बिकर्मिक समीकरणों में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो मूलों की प्रकृति को निर्धारित करने में मदद करता है। यह वर्गमूल में व्यक्ति व्यक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है। ### विचारांश का सूत्र\nΔ = b^2 - 4ac ### विचारांश के मामले #### मामला 1: Δ > 0\nजब विचारांश सकारात्मक होता है, तो बिकर्मिक समीकरण में दो विभिन्न वास्तविक मूल होते हैं। मूलों को बिकर्मिक सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। #### मामला 2: Δ = 0\nजब विचारांश शून्य होता है, तो बिकर्मिक समीकरण में एक वास्तविक मूल होता है। मूल को बिकर्मिक सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। #### मामला 3: Δ < 0\nजब विचारांश नकारात्मक होता है, तो बिकर्मिक समीकरण में कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। मूल जटिल संख्याएं होती हैं। ### विचारांश के परिणाम\nविचारांश के परिणाम बहुत महत्वपूर्ण हैं और मूलों पर प्रभाव डालते हैं। यदि विचारांश सकारात्मक है, तो मूल वास्तविक और विभिन्न होते हैं। यदि विचारांश शून्य है, तो मूल वास्तविक और दोहराए जाते हैं। यदि विचारांश नकारात्मक है, तो मूल जटिल संख्याएं होती हैं। ### निष्कर्ष\nनिष्कर्ष में, विचारांश एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो बिकर्मिक समीकरणों में मूलों की प्रकृति को निर्धारित करने में मदद करता है। यह आवश्यक है कि विचारांश के विभिन्न मामलों और उनके परिणामों को समझा जाए।

उत्तर (Answer): ### कदम 1: दी गई बिकर्मिक समीकरण को लिखें\nx^2 + 7x + 12 = 0 ### कदम 2: दी गई समीकरण को सामान्य रूप ax^2 + bx + c = 0 के साथ तुलना करें\na = 1, b = 7, c = 12 ### कदम 3: बिकर्मिक सूत्र का उपयोग करके हल प्राप्त करें\nx = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a ### कदम 4: a, b और c के मानों को बिकर्मिक सूत्र में प्रतिस्थापित करें\nx = (-(7) ± √((7)^2 - 4(1)(12))) / 2(1)\nx = (-7 ± √(49 - 48)) / 2\nx = (-7 ± √1) / 2 ### कदम 5: वर्गमूल के नीचे व्यक्ति व्यक्ति को सरल करें\nx = (-7 ± 1) / 2 ### कदम 6: दो संभावित हल प्राप्त करें\nx = (-7 + 1) / 2 या x = (-7 - 1) / 2\nx = -3 या x = -4 ### कदम 7: हल को a, b और c के रूप में लिखें\na = -3, b = -4, c = 0

उत्तर (Answer): ## 1. फार्मूला पद्धति\nद्विघात समीकरण को फार्मूला पद्धति से हल करने के लिए, हम फार्मूला $x = \frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करेंगे, जहां $a = 1$, $b = 4$, और $c = 4$ हैं। ## 2. मानों का प्रतिस्थापन\nमानों का प्रतिस्थापन करते हुए, हमें मिलता है: $x = \frac{-4 pm sqrt{4^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$ $x = \frac{-4 pm sqrt{16 - 16}}{2}$ $x = \frac{-4 pm sqrt{0}}{2}$ ## 3. व्यक्ति का सरलीकरण\nव्यक्ति का सरलीकरण करते हुए, हमें मिलता है: $x = \frac{-4}{2}$ $x = -2$ ## 4. गुणनखंड पद्धति\nद्विघात समीकरण को गुणनखंड पद्धति से हल करने के लिए, हमें दो संख्याओं की आवश्यकता होती है जिनका उत्पाद $ac$ होता है और जिनका योग $b$ होता है। इस मामले में, हम देख सकते हैं कि $a = 1$, $b = 4$, और $c = 4$ हैं। ## 5. दो संख्याओं का पता लगाना\nदो संख्याओं जिनका उत्पाद $ac$ है और जिनका योग $b$ है वह $-2$ और $-2$ हैं। ## 6. गुणनखंड रूप में समीकरण लिखें\nहम समीकरण को गुणनखंड रूप में लिख सकते हैं: $(x + 2)(x + 2) = 0$ ## 7. x के लिए हल करना\nx के लिए हल करते हुए, हमें मिलता है: $x + 2 = 0$ $x = -2$ \nअंतिम उत्तर है $\boxed{-2}$.

उत्तर (Answer): समीकरण $x^2 - 7x - 18 = 0$ में $x$ का मान ढूंढने के लिए विकर्ण पद्धति का उपयोग करने के लिए, हमें समीकरण को विभाजित करना होगा। समीकरण को विभाजित किया जा सकता है $(x - 9)(x + 2) = 0$। यह हमें दो संभावित समाधान देता है: $x - 9 = 0$ और $x + 2 = 0$। पहले समीकरण में $x$ के लिए हल करने पर, हमें $x = 9$ मिलता है। दूसरे समीकरण में $x$ के लिए हल करने पर, हमें $x = -2$ मिलता है। इसलिए, समीकरण के समाधान हैं $x = 9$ और $x = -2$。

उत्तर (Answer): ## कदम 1: बीहज अभिव्यक्ति को फैक्टराइज करें\nदिया गया बीहज अभिव्यक्ति है $x^2 - 6x + 8$। हम इस अभिव्यक्ति को $(x - 4)(x - 2)$ के रूप में फैक्टराइज कर सकते हैं। ## कदम 2: प्रत्येक कारक को शून्य से समान करें\nप्रत्येक कारक को शून्य से समान करने पर, हमें $x - 4 = 0$ और $x - 2 = 0$ मिलता है। ## कदम 3: x के लिए समाधान करें\nx के लिए समाधान करने पर, हमें $x = 4$ और $x = 2$ मिलता है। ## कदम 4: अंतिम समाधान लिखें\nइसलिए, बीहज समीकरण $x^2 - 6x + 8 = 0$ के समाधान हैं $x = 4$ और $x = 2$.

उत्तर (Answer): ## विचार का वर्णन\nबीहज समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का विचार है $b^2 - 4ac$ द्वारा दिया गया अभिव्यक्ति। यह प्रतीक $Delta$ या $D$ द्वारा दर्शाया जाता है। विचार बीहज समीकरण के मूलों की प्रकृति को निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। ## विचार का महत्व\nविचार हमें यह निर्धारित करने में मदद करता है कि बीहज समीकरण में वास्तविक और विभिन्न मूल, वास्तविक और समान मूल, या कोई वास्तविक मूल है। यदि विचार सकारात्मक है, तो समीकरण में दो विभिन्न वास्तविक मूल होते हैं। यदि विचार शून्य है, तो समीकरण में दो समान वास्तविक मूल होते हैं। यदि विचार नकारात्मक है, तो समीकरण में कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। ## गणितीय प्रतिनिधित्व\nगणितीय रूप से, विचार को $Delta = b^2 - 4ac$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यह अभिव्यक्ति बीहज समीकरण के मूलों की प्रकृति को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जा सकती है। ## निष्कर्ष\nनिष्कर्ष में, विचार एक आवश्यक अवधारणा है जो बीहज समीकरणों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यह हमें बीहज समीकरण के मूलों की प्रकृति को निर्धारित करने में मदद करता है और बीहज समीकरणों का समाधान करने के लिए एक महत्वपूर्ण साधन है।

उत्तर (Answer): ## कदम 1: समीकरण के गुणांकों की पहचान करें\nदिया गया बीहज समीकरण है $x^2 + 4x + 4 = 0$। यहाँ, $a = 1$, $b = 4$, और $c = 4$ हैं। ## कदम 2: बीहज सूत्र का प्रयोग करें\nबीहज सूत्र है $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$। मान $a$, $b$, और $c$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$ मिलता है। ## कदम 3: व्यक्ति को सरल करें\nव्यक्ति को सरल करने पर, हमें $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ मिलता है। ## कदम 4: अंतिम समाधान लिखें\nइसलिए, बीहज समीकरण $x^2 + 4x + 4 = 0$ का समाधान है $x = -2$.

उत्तर (Answer): k का मान ज्ञात करने के लिए, हमें यह तथ्य का उपयोग करने की आवश्यकता है कि मूलों का गुणनफल नियत पद को नियत पद के गुणक से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। इस मामले में, मूलों का गुणनफल k^2 है, और नियत पद k^2 है। इसलिए, हमें k^2 = k^2 / 1 है, जो हमें k^2 = k^2 को दर्शाता है। यह समीकरण सभी मानों के लिए सच है, इसलिए हमें निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि k कोई वास्तविक संख्या हो सकती है। हालांकि, हम समीकरण का हल निकालने के लिए व्युत्पन्न सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं। मान a, b, और c को डालकर, हमें x = (-2k ± √((2k)^2 - 4(1)(k^2))) / 2(1) मिलता है। सरलीकरण करने पर, हमें x = (-2k ± √(4k^2 - 4k^2)) / 2 मिलता है, जो आगे सरल हो जाता है x = (-2k ± √0) / 2. क्योंकि √0 0 है, हमें x = (-2k ± 0) / 2 मिलता है, जो हमें x = -k देता है। इसलिए, समीकरण के समाधान हैं x = -k, और हमें निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि k = 0।

उत्तर (Answer): व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके बहुपदी समीकरण x^2 - 4x + 3 = 0 का हल निकालने के लिए, हमें a, b, और c के मान ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस मामले में, a = 1, b = -4, और c = 3 है। इन मानों को व्युत्पन्न सूत्र में डालकर, हमें x = (-( -4) ± √((-4)^2 - 4(1)(3))) / 2(1) मिलता है। सरलीकरण करने पर, हमें x = (4 ± √(16 - 12)) / 2 मिलता है, जो आगे सरल हो जाता है x = (4 ± √4) / 2. क्योंकि √4 2 है, हमें x = (4 ± 2) / 2 मिलता है। इसलिए, हमें दो संभावित समाधान हैं: x = (4 + 2) / 2 = 3 और x = (4 - 2) / 2 = 1। इसलिए, समीकरण के समाधान हैं x = 3 और x = 1।

उत्तर (Answer): क्योंकि एक मूल 2 है, हम समीकरण को लिख सकते हैं (x - 2)(x + b) = 0, जहां b एक स्थिरांक है। बाएं हाथ का विस्तार करने पर, हमें x^2 + bx - 2x - 2b = 0 मिलता है। इसे मूल समीकरण से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि a = b - 2। हमें यह भी पता है कि मूलों का गुणनफल 2 है, इसलिए 2b = 2, जो हमें b = 1 देता है। इसलिए, a = b - 2 = 1 - 2 = -1। इसलिए, a का मान -1 है।

उत्तर (Answer): फैक्टराइजेशन द्वारा बहुपदी समीकरण 2x^2 + 5x - 3 = 0 का हल निकालने के लिए, हमें दो संख्याओं की आवश्यकता है जिनका गुणनफल -6 है और जिनका योग 5 है। ये संख्याएं 6 और -1 हैं। इसलिए, हम समीकरण को लिख सकते हैं 2x^2 + 6x - x - 3 = 0. समान पदों को निकालकर, हमें 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0 मिलता है। अब, हम समान पद (x + 3) को निकाल सकते हैं और प्राप्त करते हैं (2x - 1)(x + 3) = 0. प्रत्येक कारक को शून्य में सेट करके, हमें 2x - 1 = 0 या x + 3 = 0 मिलता है। x के लिए हल करने पर, हमें x = 1/2 या x = -3 मिलता है। इसलिए, समीकरण के समाधान हैं x = 1/2 और x = -3।

उत्तर (Answer): x का मान ज्ञात करने के लिए, हम बहुपदी समीकरण के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. इस मामले में, a = 1, b = 4, और c = 4 है। इन मानों को सूत्र में डालकर, हमें x = (-(4) ± √((4)^2 - 4(1)(4))) / 2(1) मिलता है। सरलीकरण करने पर, हमें x = (-4 ± √(16 - 16)) / 2 मिलता है, जो आगे सरल हो जाता है x = (-4 ± √0) / 2. क्योंकि √0 0 है, हमें x = (-4 ± 0) / 2 मिलता है, जो हमें x = -4 / 2 = -2 देता है। इसलिए, x का मान -2 है।

उत्तर (Answer): ### भाग 1: संख्यात्मक प्रश्न **दिया गया है:** * शांत जल में मोटर बोट की चाल = $18\text{ किमी/घंटा}$ * मान लीजिए धारा की चाल = $x\text{ किमी/घंटा}$ * इसलिए, धारा के प्रतिकूल (upstream) बोट की चाल = $(18 - x)\text{ किमी/घंटा}$ * धारा के अनुकूल (downstream) बोट की चाल = $(18 + x)\text{ किमी/घंटा}$ * दूरी = $24\text{ किमी}$ **सूत्र:** $$\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$$ \nप्रश्नानुसार, धारा के प्रतिकूल जाने में लिया गया समय, धारा के अनुकूल जाने में लिए गए समय से $1\text{ घंटा}$ अधिक है: $$\frac{24}{18 - x} - \frac{24}{18 + x} = 1$$ **चरण-दर-चरण हल:** 1. $24$ को उभयनिष्ठ (common) लीजिए: $$24 \left( \frac{1}{18 - x} - \frac{1}{18 + x} = 1 \right)$$ 2. ब्रैकेट के अंदर के पदों का लघुत्तम (LCM) लीजिए: $$24 \left[ \frac{(18 + x) - (18 - x)}{(18 - x)(18 + x)} \right] = 1$$ 3. अंश और हर को सरल कीजिए ($(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करके): $$24 \left[ \frac{18 + x - 18 + x}{18^2 - x^2} \right] = 1$$ $$24 \left[ \frac{2x}{324 - x^2} \right] = 1$$ 4. अंश का गुणा कीजिए: $$\frac{48x}{324 - x^2} = 1$$ 5. वज्र गुणन (cross multiplication) करके मानक द्विघात समीकरण बनाइए: $$48x = 324 - x^2$$ $$x^2 + 48x - 324 = 0$$ 6. मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण को हल कीजिए। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-324$ हो और योग $48$ हो। ये संख्याएँ $54$ और $-6$ हैं: $$x^2 + 54x - 6x - 324 = 0$$ $$x(x + 54) - 6(x + 54) = 0$$ $$(x - 6)(x + 54) = 0$$ 7. इससे $2$ मान प्राप्त होते हैं: $$x = 6 \quad \text{या} \quad x = -54$$ \nचूंकि धारा की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम $x = -54$ को छोड़ देते हैं। **निष्कर्ष:**\nधारा की चाल **$6\text{ किमी/घंटा}$** है। --- ### भाग 2: सैद्धांतिक अवधारणा **द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant)** \nमानक रूप में द्विघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है: $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (जबकि \ a \neq 0)$$ \nव्यंजक $b^2 - 4ac$ को द्विघात समीकरण का **विविक्तकर** कहा जाता है, जिसे आमतौर पर $D$ या $\Delta$ द्वारा दर्शाया जाता है: $$D = b^2 - 4ac$$ **मूलों की प्रकृति निर्धारित करने में इसकी भूमिका:**\nविविक्तकर वास्तव में मूलों को गणना किए बिना द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जिसका उपयोग द्विघाती सूत्र में किया जाता है: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 1. **स्थिति 1: यदि $D > 0$ (धनात्मक विविक्तकर)** * द्विघात समीकरण के **दो भिन्न वास्तविक मूल** होते हैं। * यदि $b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग है, तो मूल परिमेय संख्याएँ होती हैं। * यदि यह पूर्ण वर्ग नहीं है, तो मूल अपरिमेय होते हैं। 2. **स्थिति 2: यदि $D = 0$ (शून्य विविक्तकर)** * द्विघात समीकरण के **दो बराबर वास्तविक मूल** (या एक पुनरावृत्ति वास्तविक मूल) होते हैं। * मूल $x = \frac{-b}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं। 3. **स्थिति 3: यदि $D < 0$ (ऋणात्मक विविक्तकर)** * द्विघात समीकरण का **कोई वास्तविक मूल नहीं होता है** क्योंकि वास्तविक संख्या प्रणाली में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक नहीं होता है।