मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 6 गणित: भिन्न (Fractions) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स
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अध्याय परिचय (Introduction)
भिन्न एक ऐसी संख्या है जो किसी संपूर्ण (Whole) वस्तु या संग्रह (Collection) के एक भाग को दर्शाती है।
1. भिन्न का अर्थ (Meaning of a Fraction)
- जब किसी वस्तु को बराबर भागों में बाँटा जाता है, तो प्रत्येक भाग भिन्न कहलाता है।
- इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
भिन्न = (अंश / हर) = (Numerator / Denominator)
- अंश (Numerator): ऊपर की संख्या, जो दर्शाती है कि कितने भाग लिए गए हैं।
- हर (Denominator): नीचे की संख्या, जो दर्शाती है कि कुल कितने बराबर भाग किए गए हैं।
- उदाहरण:
3/5 में 3 अंश है और 5 हर है।
2. संख्या रेखा पर भिन्न (Fractions on a Number Line)
- संख्या रेखा पर प्रत्येक भिन्न को एक निश्चित बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है।
- 0 और 1 के बीच की दूरी को हर (Denominator) के बराबर भागों में विभाजित किया जाता है।
3. भिन्नों के प्रकार (Types of Fractions)
- उचित भिन्न (Proper Fraction):
- जिस भिन्न का अंश हर से छोटा होता है, वह उचित भिन्न कहलाती है।
- इसका मान हमेशा 1 से कम होता है।
- उदाहरण:
2/3, 4/7, 5/9
- विषम भिन्न (Improper Fraction):
- जिस भिन्न का अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, वह विषम भिन्न कहलाती है।
- इसका मान 1 या 1 से अधिक होता है।
- उदाहरण:
5/3, 7/4, 9/9
- मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction):
- इसमें एक पूर्ण संख्या (Whole Number) और एक उचित भिन्न होती है।
- उदाहरण:
2 (1/3), 1 (3/4)
4. विषम भिन्न और मिश्रित भिन्न में परस्पर बदलना (Conversion)
- विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना:
- अंश को हर से भाग दें।
- सूत्र:
भागफल (शेषफल / हर)
- मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलना:
- सूत्र:
(पूर्ण संख्या × हर + अंश) / हर
5. तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions)
- वे भिन्न जो दिखने में अलग हों लेकिन एक ही भाग या मान को दर्शाती हैं, तुल्य भिन्न कहलाती हैं।
- किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही शून्य-इतर (Non-zero) संख्या से गुणा या भाग करके तुल्य भिन्न प्राप्त की जाती है।
- जाँच करने की विधि (Cross Multiplication): यदि
a/b और c/d दिए गए हैं, तो यदि a × d = b × c, तो वे तुल्य भिन्न हैं।
6. भिन्न का सरलतम रूप (Simplest Form of a Fraction)
- कोई भिन्न अपने सरलतम रूप में तब होती है जब उसके अंश और हर का HCF (महत्तम समापवर्तक) केवल 1 हो।
- सरल करने के लिए अंश और हर दोनों को उनके HCF से भाग देते हैं।
7. सम और विषम (समान और असमान) भिन्न (Like and Unlike Fractions)
- समान भिन्न (Like Fractions): जिनके हर (Denominators) समान होते हैं।
- उदाहरण:
2/7, 4/7, 5/7
- असमान भिन्न (Unlike Fractions): जिनके हर अलग-अलग होते हैं।
- उदाहरण:
1/3, 2/5, 3/7
8. भिन्नों की तुलना (Comparison of Fractions)
- समान हर वाली भिन्नें: जिस भिन्न का अंश बड़ा होता है, वह भिन्न बड़ी होती है।
- उदाहरण:
4/9 > 2/9
- समान अंश वाली भिन्नें: जिस भिन्न का हर छोटा होता है, वह भिन्न बड़ी होती है।
- उदाहरण:
3/5 > 3/8
- असमान हर वाली भिन्नें: सबसे पहले उनके हरों का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) लेकर उन्हें समान हर (समान भिन्नों) में बदलते हैं, फिर तुलना करते हैं।
9. भिन्नों का जोड़ और घटाव (Addition and Subtraction of Fractions)
- समान भिन्नों का जोड़/घटाव:
- हर को वही रखते हैं और अंशों को जोड़ या घटा देते हैं।
- सूत्र:
(a/c) + (b/c) = (a + b) / c
- असमान भिन्नों का जोड़/घटाव:
- सबसे पहले हरों का LCM निकालकर उन्हें समान भिन्न बनाते हैं, फिर जोड़ते या घटाते हैं।
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 भिन्न (Fractions)
भिन्न का परिचय (Introduction to Fractions)
परिभाषा (Definition)
पूर्ण का एक हिस्सा
अंश और हर (Numerator and Denominator)
संख्या रेखा पर निरूपण (Representation on Number Line)
0 और 1 के बीच की संख्याएँ
भिन्न के प्रकार (Types of Fractions)
उचित भिन्न (Proper Fraction)
अंश < हर
मान 1 से कम
अनुचित भिन्न (Improper Fraction)
अंश > हर
मान 1 से अधिक
मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction)
पूर्ण संख्या + उचित भिन्न
तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions)
समान मान वाले भिन्न
अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा/भाग करना
भिन्नों की तुलना (Comparison of Fractions)
समान हर वाले भिन्न (Like Fractions)
बड़े अंश वाला भिन्न बड़ा होता है
असमान हर वाले भिन्न (Unlike Fractions)
हर को समान बनाना (लघुत्तम समापवर्त्य द्वारा)
भिन्नों पर संक्रियाएं (Operations on Fractions)
जोड़ (Addition)
समान हर वाले भिन्नों का जोड़
असमान हर वाले भिन्नों का जोड़
घटाव (Subtraction)
समान हर वाले भिन्नों का घटाव
असमान हर वाले भिन्नों का घटाव
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): एक घंटे में 60 मिनट होते हैं। 30/60 को सरल करने पर 1/2 प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): 2 पूर्ण और 3/4 को सीधे मिश्रित भिन्न 2 3/4 के रूप में लिखा जा सकता है।
उत्तर (Answer): वह भिन्न जिसमें अंश और हर समान होते हैं, एक पूर्ण (1) को दर्शाती है। उदाहरण के लिए, 7/7 का मान 1 होता है।
उत्तर (Answer): हर को समान रखें और अंशों को घटाएं: 4 - 3 = 1, जिससे 1/5 प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): 3 को 10 से विभाजित करने पर 0.3 प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): समान अंश होने पर, सबसे बड़े हर वाली भिन्न सबसे छोटी होती है। हर 6, 3 और 2 हैं। आरोही क्रम 1/6, 1/3, 1/2 है।
उत्तर (Answer): 5 से 20 प्राप्त करने के लिए, 4 से गुणा करें। अंश के साथ भी यही करें: 2 * 4 = 8। अतः लुप्त संख्या 8 है।
उत्तर (Answer): इकाई भिन्न वह भिन्न होती है जिसका अंश 1 होता है और हर एक धनात्मक पूर्णांक होता है। विकल्पों में से, 1/8 एक इकाई भिन्न है।
उत्तर (Answer): किसी भी भिन्न में, ऊपर की संख्या को अंश (numerator) और नीचे की संख्या को हर (denominator) कहा जाता है। यहाँ, 7 अंश है।
उत्तर (Answer): एक घंटे में 60 मिनट होते हैं। भिन्न 45/60 है। अंश और हर को 15 से विभाजित करने पर 3/4 प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): जब हर समान होते हैं, तो सबसे बड़े अंश वाली भिन्न सबसे बड़ी होती है। यहाँ, 4 सबसे बड़ा अंश है, इसलिए 4/5 सबसे बड़ी है।
उत्तर (Answer): हर 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 6 है। भिन्नों को बदलें: 1/2 = 3/6 और 1/3 = 2/6। इन्हें जोड़ें: 3/6 + 2/6 = 5/6।
उत्तर (Answer): हर को समान रखते हुए अंशों को घटाएं: 8 - 5 = 3, अतः 3/9। 3/9 को सरल करने पर 1/3 प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): चूँकि हर समान हैं, अंशों को जोड़ें: 3 + 2 = 5। परिणाम 5/7 है।
उत्तर (Answer): 36 और 48 का महत्तम समापवर्तक (HCF) 12 है। अंश और हर दोनों को 12 से विभाजित करने पर 3/4 प्राप्त होता है।