भिन्न एवं दशमलव

कक्षा ७: गणित

अध्याय: भिन्न और दशमलव (Fractions and Decimals) - त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स (Quick Revision Notes)

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मुख्य परिभाषाएँ (Key Definitions)

१. भिन्न (Fraction):

भिन्न एक ऐसी संख्या है जो किसी संपूर्ण का एक भाग दर्शाती है। इसे a / b के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a अंश (Numerator) और b हर (Denominator) कहलाता है (जहाँ b ≠ 0)।

२. उचित भिन्न (Proper Fraction):

वह भिन्न जिसका अंश उसके हर से छोटा होता है, उचित भिन्न कहलाती है। जैसे: 3 / 5, 2 / 7।

३. विषम भिन्न (Improper Fraction):

वह भिन्न जिसका अंश उसके हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, विषम भिन्न कहलाती है। जैसे: 7 / 4, 5 / 3।

४. मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction):

एक मिश्रित भिन्न में एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का संयोजन होता है। जैसे: 2 (1 / 3)।

५. तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions):

दी गई भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर (non-zero) संख्या से गुणा या भाग देने पर प्राप्त भिन्न तुल्य भिन्न कहलाती है।

६. दशमलव संख्या (Decimal Number):

वह संख्या जिसमें एक पूर्ण संख्या भाग और एक दशमलव भाग होता है, जिन्हें एक बिंदु (दशमलव बिंदु) द्वारा अलग किया जाता है। जैसे: 25.68।

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भिन्नों पर संक्रियाएँ (Operations on Fractions)

#### १. भिन्नों का जोड़ और घटाव (Addition and Subtraction)

• समान हर वाली भिन्नें: अंशों को सीधे जोड़ा या घटाया जाता है और हर को वैसा ही लिखा जाता है।
• सूत्र: (a / c) + (b / c) = (a + b) / c
• असामान हर वाली भिन्नें: पहले हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालकर उन्हें समान हर वाली तुल्य भिन्नों में बदलते हैं, फिर जोड़ते या घटाते हैं।

#### २. भिन्नों का गुणा (Multiplication of Fractions)

• दो भिन्नों का गुणनफल = (अंशों का गुणनफल) / (हरों का गुणनफल)
• सूत्र: (a / b) × (c / d) = (a × c) / (b × d)

#### ३. भिन्नों का भाग (Division of Fractions)

• किसी भिन्न को दूसरी भिन्न से भाग देने के लिए, पहली भिन्न को दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम (Reciprocal) से गुणा किया जाता है।
• व्युत्क्रम: a / b का व्युत्क्रम b / a होता है।
• सूत्र: (a / b) ÷ (c / d) = (a / b) × (d / c) = (ad) / (bc)

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दशमलव संख्याओं पर संक्रियाएँ (Operations on Decimals)

#### १. दशमलव संख्याओं की तुलना (Comparison)

• सबसे पहले पूर्ण संख्या भाग की तुलना करते हैं। यदि पूर्ण संख्या भाग समान है, तो दशांश (tenths) के अंक की तुलना करते हैं, फिर शतांश (hundredths) के अंक की, और इसी प्रकार आगे बढ़ते हैं।

#### २. दशमलव संख्याओं का जोड़ और घटाव (Addition and Subtraction)

• दशमलव बिंदुओं को ठीक एक के नीचे एक (स्तंभ रूप में) लिखकर साधारण संख्याओं की तरह जोड़ा या घटाया जाता है।

#### ३. दशमलव संख्याओं का 10, 100, 1000 आदि से गुणा

• 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने पर दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने ही स्थान खिसक जाता है जितने शून्य 1 के आगे होते हैं।
• उदाहरण: 2.5 × 10 = 25
• 2.5 × 100 = 250

#### ४. दशमलव संख्याओं का 10, 100, 1000 आदि से भाग

• 10, 100, 1000 आदि से भाग देने पर दशमलव बिंदु बाईं ओर उतने ही स्थान खिसक जाता है जितने शून्य 1 के आगे होते हैं।
• उदाहरण: 35.2 ÷ 10 = 3.52
• 35.2 ÷ 100 = 0.352

#### ५. दो दशमलव संख्याओं का गुणा

• पहले दशमलव को नजर अंदाज करके पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करते हैं। फिर गुणनफल में कुल जितने अंकों के बाद दशमलव था, दाईं ओर से उतने अंकों के बाद दशमलव लगा देते हैं।

#### ६. एक दशमलव संख्या का दूसरी दशमलव संख्या से भाग

• भाजक (Divisor) के दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों में 10, 100 आदि से गुणा करके उसे पूर्ण संख्या बनाते हैं, और फिर भाग देते हैं।