वर्ग और वर्गमूल

कक्षा 8 गणित - त्वरित रिवीजन नोट्स एवं सूत्र

अध्याय: वर्ग और वर्गमूल (Square and Square Roots)

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1. वर्ग (Square) की अवधारणा

जब किसी संख्या को स्वयं उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल को उस संख्या का वर्ग कहते हैं।

• सामान्य सूत्र: x का वर्ग = x × x = x^2
• उदाहरण:
• 4 का वर्ग = 4 × 4 = 16
• 9 का वर्ग = 9 × 9 = 81

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2. पूर्ण वर्ग संख्याएँ (Perfect Square Numbers)

एक प्राकृत संख्या को पूर्ण वर्ग संख्या कहा जाता है यदि वह किसी प्राकृत संख्या का वर्ग हो।

• 1 से 10 तक की संख्याओं के वर्ग:
• 1^2 = 1
• 2^2 = 4
• 3^2 = 9
• 4^2 = 16
• 5^2 = 25
• 6^2 = 36
• 7^2 = 49
• 8^2 = 64
• 9^2 = 81
• 10^2 = 100

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3. वर्ग के मुख्य गुणधर्म (Properties of Squares)

• इकाई अंक का नियम:
• यदि किसी संख्या के अंत (इकाई स्थान) में 2, 3, 7 या 8 आता है, तो वह संख्या कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।
• पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 ही हो सकता है।

| संख्या की इकाई का अंक | वर्ग की इकाई का अंक |

| :--- | :--- |

| 1 या 9 | 1 |

| 2 या 8 | 4 |

| 3 या 7 | 9 |

| 4 या 6 | 6 |

| 5 | 5 |

| 0 | 0 (शून्यों की संख्या सम होगी) |

• सम एवं विषम संख्याएँ:
• सम संख्या का वर्ग हमेशा सम होता है। (जैसे: 6^2 = 36)
• विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। (जैसे: 7^2 = 49)

• दो क्रमागत वर्ग संख्याओं के बीच की संख्याएँ:
• दो क्रमागत संख्याओं n और (n + 1) के वर्गों n^2 और (n + 1)^2 के बीच 2n गैर-वर्ग (Non-square) संख्याएँ होती हैं।
• उदाहरण: 4^2 = 16 और 5^2 = 25 के बीच गैर-वर्ग संख्याएँ = 2 × 4 = 8 संख्याएँ (17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24)।

• विषम संख्याओं का योग नियम:
• प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n^2 होता है।
• सूत्र: 1 + 3 + 5 + 7 + ... (n पद) = n^2
• उदाहरण: प्रथम 3 विषम संख्याओं का योग: 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2

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4. पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean Triplet)

तीन प्राकृत संख्याओं a, b, और c का ऐसा समूह जो a^2 + b^2 = c^2 को संतुष्ट करता है, उसे पाइथागोरस त्रिक कहते हैं।

• सामान्य सूत्र: किसी भी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, पाइथागोरस त्रिक के तीन रूप होते हैं:
• (2m, m^2 - 1, m^2 + 1)

• उदाहरण: यदि m = 3 हो:
• 2m = 2 × 3 = 6
• m^2 - 1 = 3^2 - 1 = 8
• m^2 + 1 = 3^2 + 1 = 10
• त्रिक = (6, 8, 10) [जाँच: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2]

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5. वर्गमूल (Square Root)

वर्गमूल, वर्ग करने की प्रतिलोम (उल्टी) प्रक्रिया है।

• इसे संकेत √ (करणी) से दर्शाया जाता है।
• यदि x^2 = y, तो √y = x
• उदाहरण: चूकि 8^2 = 64, इसलिए √64 = 8

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6. वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ

#### (i) बार-बार घटाने की विधि (Repeated Subtraction Method)

• दी गई संख्या में से क्रमागत विषम संख्याओं (1, 3, 5, 7, 9...) को तब तक घटाते हैं जब तक कि परिणाम 0 न आ जाए।
• जितने चरणों में उत्तर 0 प्राप्त होता है, वही संख्या का वर्गमूल होता है।

#### (ii) अभाज्य गुणनखंडन विधि (Prime Factorization Method)

1. दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड निकालें।

2. समान गुणनखंडों के जोड़े (Pairs) बनाएँ।

3. प्रत्येक जोड़े में से एक संख्या बाहर निकालकर उनका आपस में गुणा करें।

• उदाहरण: 144 का वर्गमूल:
• 144 = (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3)
• √144 = 2 × 2 × 3 = 12

#### (iii) भाग विधि (Long Division Method)

• यह बड़ी संख्याओं और दशमलव संख्याओं का वर्गमूल निकालने की सबसे उपयुक्त विधि है।
• इसमें इकाई अंक की तरफ से अंकों के जोड़े (Bar/बार) बनाए जाते हैं।

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7. दशमलव एवं भिन्न संख्याओं के वर्गमूल नियम

• भिन्न का वर्गमूल:
• √(a / b) = √a / √b
• गुणनफल का वर्गमूल:
• √(a × b) = √a × √b

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8. त्वरित याद रखने योग्य बिंदु (Quick Summary)

• किसी संख्या के वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या हमेशा सम होती है।
• ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है: (-x)^2 = x^2
• 1 का वर्ग और वर्गमूल दोनों 1 ही होते हैं (1^2 = 1, √1 = 1)।