बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ

कक्षा 8 गणित - त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स

अध्याय: बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ (Algebraic Expressions and Identities)

---

1. मूलभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)

• चर (Variable): जिस राशि का मान बदलता रहता है, उसे चर कहते हैं। इसे प्रायः x, y, z, a, b, c आदि अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
• अचर (Constant): जिस राशि का मान निश्चित रहता है, उसे अचर कहते हैं। जैसे: 1, 2, -5, 3/4 आदि।
• बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression): चरों और अचरों को मूलभूत गणितीय संक्रियाओं (+, -, ×, ÷) द्वारा जोड़ने पर बीजीय व्यंजक बनता है।
• उदाहरण: 4x + 5, 3y - 7
• पद (Terms): व्यंजक के वे भाग जो + या - चिह्नों द्वारा अलग होते हैं, उन्हें 'पद' कहते हैं।
• उदाहरण: व्यंजक 4x^2 - 3xy + 7 में तीन पद हैं: 4x^2, -3xy, और 7
• गुणनखंड (Factors): किसी पद को उसके चरों और अचरों के गुणनफल के रूप में लिखना।
• उदाहरण: पद 5xy के गुणनखंड 5, x और y हैं।
• गुणांक (Coefficient): किसी पद का संख्यात्मक भाग उसका संख्यात्मक गुणांक (या केवल गुणांक) कहलाता है।
• उदाहरण: पद -7xy में गुणांक -7 है।

---

2. बीजीय व्यंजकों के प्रकार (Types of Expressions)

1. एकपदी (Monomial): जिस व्यंजक में केवल एक पद होता है।

• उदाहरण: 4x, 3xy, -7z

2. द्विपदी (Binomial): जिस व्यंजक में दो असमान पद होते हैं।

• उदाहरण: a + b, 4l + 5m, x^2 - y

3. त्रिपदी (Trinomial): जिस व्यंजक में तीन पद होते हैं।

• उदाहरण: a + b + c, 2x + 3y - 5

4. बहुपद (Polynomial): एक या अधिक पदों वाला ऐसा व्यंजक जिसमें चरों की घात केवल ऋणेतर पूर्णांक (Non-negative integer / धनात्मक या शून्य) हो।

---

3. समान और असमान पद (Like and Unlike Terms)

• समान पद (Like Terms): वे पद जिनके बीजीय चर और उनके घातांक समान होते हैं (संख्यात्मक गुणांक अलग हो सकते हैं)।
• उदाहरण: 2x और 5x; 3x^2y और -7x^2y
• असमान पद (Unlike Terms): वे पद जिनके बीजीय चर या उनके घातांक अलग-अलग होते हैं।
• उदाहरण: 2x और 2y; 3x और 3x^2

---

4. योग और घटाव के नियम (Addition and Subtraction)

• केवल समान पदों को ही आपस में जोड़ा या घटाया जा सकता है।
• असमान पदों को योग या घटाव के बाद भी ज्यों का त्यों लिखा जाता है।
• घटाने का नियम: जब किसी व्यंजक को घटाया जाता है, तो उसके सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं (+ का - और - का + हो जाता है)।

---

5. बीजीय व्यंजकों का गुणन (Multiplication)

• घातांक नियम का प्रयोग: समान चर का गुणा करने पर उनकी घातें जुड़ जाती हैं।
• x^a * x^b = x^(a+b)
• चिह्नों के नियम:
• (+) * (+) = (+)
• (-) * (-) = (+)
• (+) * (-) = (-)
• (-) * (+) = (-)

#### गुणन के प्रकार:

1. एकपदी का एकपदी से गुणा: (3x) * (4y) = 12xy

2. एकपदी का बहुपद से गुणा (वितरण नियम): a * (b + c) = ab + ac

3. द्विपद का द्विपद से गुणा: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

---

6. मानक सर्वसमिकाएँ (Standard Identities)

सर्वसमिका एक ऐसी समता (equality) होती है जो अपने चरों के सभी मानों के लिए सत्य होती है।

#### मुख्य सर्वसमिकाएँ:

1. सर्वसमिका I:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

2. सर्वसमिका II:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

3. सर्वसमिका III:

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

4. सर्वसमिका IV (विशेष सर्वसमिका):

(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab

---

7. सर्वसमिकाओं के अनुप्रयोग (Applications of Identities)

• संख्यात्मक मान शीघ्रता से ज्ञात करना:
• उदाहरण: 103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609
• उदाहरण: 98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2(100)(2) + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
• उदाहरण: 105 * 95 = (100 + 5)(100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975

---

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु (Revision Tips)

1. घटाव करते समय कोष्ठक (bracket) के बाहर के - चिह्न का विशेष ध्यान रखें।

2. गुणा करते समय पहले संख्यात्मक गुणांकों का गुणा करें, फिर चरों का।

3. (a - b)^2 और a^2 - b^2 में अंतर समझें:

• (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)