घातांक और घात

कक्षा 8 गणित - त्वरित पुनरीक्षण सूत्र शीट (Quick Revision Notes)

अध्याय: घातांक और घात (Exponents and Powers)

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1. मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts)

• घातांक रूप (Exponent Form): जब किसी संख्या को बार-बार स्वयं से गुणा किया जाता है, तो उसे संक्षिप्त रूप में लिखने के लिए घातांक का उपयोग किया जाता है।

$$\text{उदा: } a \times a \times a \times a = a^4$$

• आधार और घातांक: $a^n$ में:
• $a$ = आधार (Base)
• $n$ = घातांक या घात (Exponent / Power)

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2. ऋणात्मक घातांक (Negative Exponents)

यदि $a$ एक शून्येतर (non-zero) परिमेय संख्या है और $m$ एक धनात्मक पूर्णांक है:

• $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
• $\frac{1}{a^{-m}} = a^m$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\frac{b}{a}\right)^m$

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3. घातांक के नियम (Laws of Exponents)

जहाँ $a$ और $b$ शून्येतर परिमेय संख्याएँ हैं तथा $m$ और $n$ पूर्णांक हैं:

| क्र.सं. | नियम (Rule) | सूत्र (Formula) | उदाहरण (Example) |

| :--- | :--- | :--- | :--- |

| 1. | समान आधार का गुणा | $a^m \times a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ |

| 2. | समान आधार का भाग | $a^m \div a^n = a^{m-n}$ | $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$ |

| 3. | घात की घात | $(a^m)^n = a^{m \times n}$ | $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$ |

| 4. | असमान आधार, समान घातांक (गुणा) | $a^m \times b^m = (a \times b)^m$ | $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3$ |

| 5. | असमान आधार, समान घातांक (भाग) | $\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m$ | $\frac{4^3}{2^3} = \left(\frac{4}{2}\right)^3 = 2^3$ |

| 6. | शून्य घातांक का नियम | $a^0 = 1$ | $7^0 = 1$, $(-10)^0 = 1$ |

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4. संख्या $-1$ और $1$ के विशेष नियम

• $1^n = 1$ (1 की घात कुछ भी हो, उत्तर हमेशा 1 होता है)
• $(-1)^{\text{सम संख्या (Even Number)}} = 1$
• $(-1)^{\text{विषम संख्या (Odd Number)}} = -1$

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5. संख्याओं का मानक रूप (Standard Form / Scientific Notation)

बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को पढ़ने और समझने में आसान बनाने के लिए मानक रूप का उपयोग किया जाता है।

मानक रूप का ढांचा: $k \times 10^n$

(जहाँ $1 \le k < 10$ और $n$ एक पूर्णांक है)

#### A. बहुत बड़ी संख्याएँ (Large Numbers):

• दशमलव बिंदु को बाईं ओर (Left) खिसकाया जाता है।
• $10$ की घात धनात्मक (+) होती है।
• उदाहरण:

$$1500000 = 1.5 \times 10^6$$

#### B. बहुत छोटी संख्याएँ (Very Small Numbers):

• दशमलव बिंदु को दाईं ओर (Right) खिसकाया जाता है।
• $10$ की घात ऋणात्मक (-) होती है।
• उदाहरण:

$$0.000007 = 7.0 \times 10^{-6}$$

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6. परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण सुझाव (Exam Tips)

1. ऋणात्मक चिन्ह का ध्यान रखें:

• $(-a)^m$ और $-a^m$ में अंतर होता है।
• $(-2)^4 = 16$ जबकि $-2^4 = -16$

2. हल करते समय: सबसे पहले ऋणात्मक घातांक को धनात्मक घातांक ($\frac{1}{a^m}$) में बदलें, फिर नियमों का उपयोग करें।

3. समान आधार बनाएं: यदि प्रश्न में आधार अलग-अलग हैं, तो उन्हें अभाज्य गुणनखंड (prime factors) में तोड़कर समान आधार बनाने का प्रयास करें।