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गुणनखंडन

Subject: गणित | Class: Class 8 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 8 गणित: गुणनखंडन (Factorisation) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स

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परिचय (Introduction)

जब किसी बीजगणितीय व्यंजक (Algebraic Expression) को दो या दो से अधिक व्यंजकों کے गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, तो उनमें से प्रत्येक व्यंजक को दिए गए व्यंजक का गुणनखंड (Factor) कहते हैं। इस प्रक्रिया को गुणनखंडन (Factorisation) कहा जाता है।


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1. सार्व गुणनखंड विधि (Method of Common Factors)

दी गई व्यंजक के प्रत्येक पद के गुणनखंड कीजिए और सभी पदों में जो पद उभयनिष्ठ (Common) हो, उसे बाहर निकाल लीजिए।


5xy + 10x

= (5 x y) + (5 2 x)

= 5x(y + 2)


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2. पदों का समूहीकरण करके गुणनखंडन (Factorisation by Grouping)

जब दिए गए व्यंजक में सीधे कोई सार्व गुणनखंड न हो, तो पदों के ऐसे जोड़े (Groups) बनाते हैं जिनमें सार्व गुणनखंड मिल जाए।


ax + ay + bx + by

= a(x + y) + b(x + y)

= (x + y)(a + b)


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3. सर्वसमिकाओं (Identities) का उपयोग करके गुणनखंडन

गुणनखंडन के लिए निम्नलिखित मानक सर्वसमिकाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:


1. सर्वसमिका 1:

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = (a + b)(a + b)


2. सर्वसमिका 2:

a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = (a - b)(a - b)


3. सर्वसमिका 3:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)


4. सर्वसमिका 4:

x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)


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4. सर्वसमिका x^2 + (a + b)x + ab का विशेष रूप (मध्य पद को तोड़ना - Splitting the Middle Term)

व्यंजक x^2 + px + q के रूप वाले व्यंजकों के गुणनखंड करने के लिए, हमें ऐसी दो संख्याएँ $a$ और $b$ ढूंढनी होती हैं जिनका:


x^2 + 7x + 12

यहाँ, ऐसी दो संख्याएँ 4 और 3 हैं जिनका योग 7 और गुणनफल 12 है।

= x^2 + 4x + 3x + 12

= x(x + 4) + 3(x + 4)

= (x + 4)(x + 3)


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5. बीجगणितीय व्यंजकों का विभाजन (Division of Algebraic Expressions)

एक बीजीय व्यंजक को दूसरे बीजीय व्यंजक से भाग देना:


संख्याओं को संख्याओं से और समान चरों (Variables) की घातों को घातांक के नियमों ($a^m / a^n = a^{m-n}$) के अनुसार हल करते हैं।


बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से अलग-अलग भाग दिया जाता है।


पहले भाज्य (Dividend) और भाजक (Divisor) दोनों के गुणनखंड ज्ञात कीजिए, फिर उभयनिष्ठ गुणनखंड को अंश और हर से काट दीजिए।


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याद रखने योग्य मुख्य बातें (Important Tips for Exam)

1. गुणनखंडन करते समय हमेशा सबसे पहले सर्व गुणनखंड (Common Factor) देखने का प्रयास करें।

2. हमेशा जाँच करें कि क्या कोई पद मानक सर्वसमिकाओं के रूप में है या नहीं।

3. भाग देते समय यह सुनिश्चित करें कि हर (Denominator) का मान शून्य (0) न हो।

माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 गुणनखंडन
Overview
गुणनखंडन का अर्थ एक व्यंजक को सरल गुणनफलों में तोड़ना संख्या के अभाज्य गुणनखंड (जैसे: $6 = 2 \times 3$) बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड (जैसे: $2x + 4 = 2(x + 2)$) गुणनखंडन की विधियाँ सार्व गुणनखंड विधि (Common Factor Method) पदों में से महत्तम समापवर्तक (HCF) बाहर निकालना उदाहरण: $5xy + 10x = 5x(y + 2)$ पदों का समूहीकरण (Grouping) दो-दो पदों के जोड़े बनाना सार्व गुणनखंड कोष्ठक के रूप में लेना उदाहरण: $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$ सर्वसमिकाओं का उपयोग (Using Identities) सर्वसमिका 1: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ सर्वसमिका 2: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ सर्वसमिका 3: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ विशेष सर्वसमिका: $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$ द्विघात व्यंजकों के गुणनखंड (मध्य पद को विभक्त करना) रूप: $ax^2 + bx + c$ चरण 1: $a$ और $c$ का गुणा करना चरण 2: मध्य पद $b$ को ऐसे दो भागों में तोड़ना जिनका गुणनफल $ac$ हो चरण 3: समूहीकरण द्वारा गुणनखंड निकालना बीजीय व्यंजकों का भाग एक पदीय से एक पदीय का भाग उदाहरण: $6x^3 \div 2x = 3x^2$ बहुपदीय से एक पदीय का भाग प्रत्येक पद में अलग-अलग भाग देना उदाहरण: $(5x^2 - 10x) \div 5x = x - 2$ बहुपदीय से बहुपदीय का भाग अंश और हर दोनों का गुणनखंड करना उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काटना (रद्द करना)
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. पूर्ण रूप से गुणनखंड कीजिए: $3a^3 - 48a$ 1 Marks
उत्तर (Answer): सबसे पहले, $3a$ को सर्व गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें: $3a(a^2 - 16)$। अगला, $16$ को $4^2$ के रूप में लिखें, जिससे व्यंजक $3a(a^2 - 4^2)$ बन जाता है। वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके, $a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$ होता है। इस प्रकार पूर्ण गुणनखंडन $3a(a - 4)(a + 4)$ है। अतः सही विकल्प $3a(a - 4)(a + 4)$ है।
Q2. $(5x^2 - 6x) \div x$ को हल करने पर क्या प्राप्त होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): $(5x^2 - 6x)$ को $x$ से भाग देने के लिए, हम अंश से $x$ कॉमन ले सकते हैं: $\frac{x(5x - 6)}{x}$। अंश और हर दोनों से $x$ को काटने पर, हमें $5x - 6$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $5x - 6$ है।
Q3. $x^2 - 4x - 21$ के गुणनखंड क्या हैं? 1 Marks
उत्तर (Answer): $x^2 - 4x - 21$ का गुणनखंड करने के लिए, हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $-4$ और गुणनफल $-21$ हो। वे संख्याएँ $-7$ और $3$ हैं। अतः, मध्य पद को विभाजित करने पर: $x^2 - 7x + 3x - 21$ प्राप्त होता है। समूह बनाने पर $x(x - 7) + 3(x - 7) = (x - 7)(x + 3)$ मिलता है। अतः सही विकल्प $(x - 7)(x + 3)$ है।
Q4. गुणनखंड कीजिए: $4x^2 - 8x + 4$ 1 Marks
उत्तर (Answer): सबसे पहले, $4$ को सर्व गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें: $4(x^2 - 2x + 1)$। कोष्ठक के अंदर का व्यंजक $x^2 - 2(x)(1) + 1^2$ है, जो कि $(x - 1)^2$ है। इस प्रकार पूर्ण गुणनखंडित रूप $4(x - 1)^2$ है। अतः सही विकल्प $4(x - 1)^2$ है।
Q5. निम्नलिखित में से कौन सा $4p^2 - 9q^2$ का एक अखंडनीय गुणनखंड रूप है? 1 Marks
उत्तर (Answer): व्यंजक $4p^2 - 9q^2$ को $(2p)^2 - (3q)^2$ लिखा जा सकता है। वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ को लागू करने पर, हमें $(2p - 3q)(2p + 3q)$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $(2p - 3q)(2p + 3q)$ है।
Q6. भाग का मूल्यांकन कीजिए: $(39y^3(50y^2 - 98)) \div (26y^2(5y + 7))$ 1 Marks
उत्तर (Answer): सबसे पहले, $(50y^2 - 98)$ से $2$ कॉमन लें जिससे $2(25y^2 - 49)$ प्राप्त हो, जो कि $2(5y - 7)(5y + 7)$ है। व्यंजक $\frac{39y^3 \cdot 2(5y - 7)(5y + 7)}{26y^2(5y + 7)}$ बनता है। चूंकि $39 \times 2 = 78$ और $78 / 26 = 3$, तथा $y^3 / y^2 = y$ है, $(5y + 7)$ को काटने पर $3y(5y - 7)$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $3y(5y - 7)$ है।
Q7. $ax^2 + bx$ का गुणनखंडित रूप क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): $ax^2 + bx$ का गुणनखंड करने के लिए, हम $ax^2$ और $bx$ दोनों में उभयनिष्ठ पदों को देखते हैं। दोनों पदों में चर $x$ उभयनिष्ठ है। $x$ को सर्व गुणनखंड के रूप में बाहर लेने पर, हमें $x(ax + b)$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $x(ax + b)$ है।
Q8. पूर्ण रूप से गुणनखंड कीजिए: $x^4 - y^4$ 1 Marks
उत्तर (Answer): हम $x^4 - y^4$ को $(x^2)^2 - (y^2)^2$ लिख सकते हैं। वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके, यह $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$ बन जाता है। इसके अलावा, $x^2 - y^2$ को $(x - y)(x + y)$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इस प्रकार पूर्ण गुणनखंडन $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$ है। अतः सही विकल्प $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$ है।
Q9. $12x^2 y$ और $36xy^2$ का सर्व गुणनखंड क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): पद $12x^2 y$ और $36xy^2$ हैं। गुणांकों $12$ और $36$ का महत्तम समापवर्तक $12$ है। दोनों में उभयनिष्ठ $x$ और $y$ की उच्चतम घातें $x^1$ और $y^1$ हैं। अतः महत्तम सर्व गुणनखंड $12xy$ है। इसलिए सही विकल्प $12xy$ है।
Q10. व्यंजक का गुणनखंड कीजिए: $y^2 + 7y + 12$ 1 Marks
उत्तर (Answer): $y^2 + 7y + 12$ का गुणनखंड करने के लिए, हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $7$ और गुणनफल $12$ हो। वे संख्याएँ $4$ और $3$ हैं। अतः, मध्य पद को विभाजित करने पर: $y^2 + 4y + 3y + 12$ प्राप्त होता है। समूह बनाने पर $y(y + 4) + 3(y + 4) = (y + 4)(y + 3)$ मिलता है। अतः सही विकल्प $(y + 3)(y + 4)$ है।
Q11. $m^2 - 14m + 49$ के गुणनखंड ज्ञात कीजिए 1 Marks
उत्तर (Answer): व्यंजक $m^2 - 14m + 49$ है, जिसे $m^2 - 2(m)(7) + 7^2$ लिखा जा सकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = m$ और $b = 7$ है, हमें $(m - 7)^2$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $(m - 7)^2$ है।
Q12. $10xy(16x^2 - 9y^2)$ को $5xy(4x + 3y)$ से भाग देने पर क्या परिणाम प्राप्त होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): सबसे पहले, $a^2 - b^2$ का उपयोग करके $(16x^2 - 9y^2)$ को $(4x - 3y)(4x + 3y)$ के रूप में गुणनखंडित करें। भाग देने वाला व्यंजक $\frac{10xy(4x - 3y)(4x + 3y)}{5xy(4x + 3y)}$ है। $5xy$ और $(4x + 3y)$ को काटने पर $2(4x - 3y)$ बचता है। अतः सही विकल्प $2(4x - 3y)$ है।
Q13. द्विघात व्यंजक का गुणनखंड कीजिए: $l^2 + lm + al + am$ 1 Marks
उत्तर (Answer): $l^2 + lm + al + am$ का गुणनखंड करने के लिए, पदों को $(l^2 + lm) + (al + am)$ के रूप में समूहीकृत करें। पहले समूह से $l$ कॉमन लेकर $l(l + m)$ और दूसरे समूह से $a$ कॉमन लेकर $a(l + m)$ प्राप्त करें। व्यंजक $l(l + m) + a(l + m) = (l + m)(l + a)$ बन जाता है। अतः सही विकल्प $(l + m)(l + a)$ है।
Q14. $5(2x + 1)(3x + 5)$ को $2(2x + 1)$ से भाग दीजिए 1 Marks
उत्तर (Answer): भाग देने के लिए: $\frac{5(2x + 1)(3x + 5)}{2(2x + 1)}$। अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड $(2x + 1)$ कट जाता है (बशर्ते $2x + 1 \neq 0$ हो)। इससे $\frac{5(3x + 5)}{2}$ शेष बचता है। अतः सही विकल्प $\frac{5(3x + 5)}{2}$ है।
Q15. $25 - 4x^2$ का गुणनखंड क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): व्यंजक $25 - 4x^2$ को $5^2 - (2x)^2$ लिखा जा सकता है। सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = 5$ और $b = 2x$ है, हमें $(5 - 2x)(5 + 2x)$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $(5 - 2x)(5 + 2x)$ है।
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