मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 9: गणित - दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स
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### 1. रैखिक समीकरण की परिभाषा (Definition of Linear Equation)
- एक ऐसा समीकरण जिसे
ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं (a^2 + b^2 ≠ 0), दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहलाता है।
- यहाँ
x और y दो चर (Variables) हैं।
### 2. दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल (Solutions of a Linear Equation)
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल संख्याओं का एक ऐसा युग्म (Pair) होता है (अर्थात
x और y का मान), जो उस समीकरण को संतुष्ट करता है (यानी बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष)।
- महत्वपूर्ण बिंदु: दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक (Infinitely Many) हल होते हैं।
### 3. रैखिक समीकरण का ग्राफ (Graph of a Linear Equation in Two Variables)
- दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का ग्राफ (आलेख) एक सरल रेखा (Straight Line) होता है।
- समीकरण
ax + by + c = 0 का आलेख खींचने के लिए कम से कम दो ऐसे बिंदुओं की आवश्यकता होती है जो उस समीकरण को संतुष्ट करते हों।
- अक्षों (Axes) के समीकरण:
x-अक्ष का समीकरण: y = 0y-अक्ष का समीकरण: x = 0
### 4. अक्षों के समांतर रेखाएँ (Lines Parallel to the Axes)
x-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण: y = k (जहाँ k एक अचर है)y-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण: x = k (जहाँ k एक अचर है)
### 5. मूल बिन्दु से गुजरने वाली रेखाएँ (Lines Passing through the Origin)
- मूल बिन्दु (Origin
0, 0) से गुजरने वाले रैखिक समीकरण का रूप ax + by = 0 होता है।
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📍 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
परिचय
रैखिक समीकरण की परिभाषा
दो चरों का अर्थ
मानक रूप: $ax + by + c = 0$
रैखिक समीकरण के हल
एक चर वाले समीकरण से तुलना
दो चरों वाले समीकरण में हल का युग्م $(x, y)$
अपरिमित रूप से अनेक हल होना
कार्तीय तल और आलेख (ग्राफ़)
निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग
समीकरण का आलेख खींचना
सरल रेखा के रूप में ग्राफ प्राप्त होना
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समांतर रेखाएँ
$x = a$ रूप का समीकरण
$y = a$ रूप का समीकरण
अक्षों पर समीकरणों का निरूपण
महत्वपूर्ण बिंदु और निष्कर्ष
रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होता है
रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण का एक हल होता है
समीकरण का प्रत्येक हल रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): समीकरण $x = -4$ y-अक्ष के बाईं ओर 4 इकाई की दूरी पर y-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा को निरूपित करता है।
उत्तर (Answer): $2x + 3y = 9$ को मानक रूप $ax + by + c = 0$ में फिर से लिखने पर, हमें $2x + 3y - 9 = 0$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर, हमें $c = -9$ मिलता है।
उत्तर (Answer): बिंदु $(1, 3)$ की जाँच कीजिए: $3 = 2(1) + 1 \implies 3 = 2 + 1 \implies 3 = 3$। यह सत्य है। अतः, ग्राफ $(1, 3)$ से होकर गुजरता है।
उत्तर (Answer): विकल्पों की जाँच करने पर, $x + y = 0$ के लिए, $(-2, 2)$ रखने पर $-2 + 2 = 0$ मिलता है; $(0, 0)$ रखने पर $0 + 0 = 0$ मिलता है; और $(2, -2)$ रखने पर $2 + (-2) = 0$ मिलता है। सभी बिंदु $x + y = 0$ को संतुष्ट करते हैं।
उत्तर (Answer): मान लीजिए नोटबुक की कीमत $x$ है और पेन की कीमत $y$ है। प्रश्न के अनुसार, $x = 2y$, जिसे $x - 2y = 0$ लिखा जा सकता है।
उत्तर (Answer): कार्तीय तल में एक ही बिंदु $(2, 3)$ से अपरिमित रूप से अनेक रैखिक समीकरण संतुष्ट हो सकते हैं, जैसे $x + y = 5$, $2x + y = 7$, आदि।
उत्तर (Answer): चूँकि मूल बिंदु $(0, 0)$ रेखा पर स्थित है, $ax + by + c = 0$ में $x = 0, y = 0$ रखने पर $c = 0$ प्राप्त होता है। अतः, समीकरण $ax + by = 0$ या $y = mx$ के रूप का होता है।
उत्तर (Answer): $3y = ax + 7$ में $x = 3$ और $y = 4$ रखिए: $3(4) = a(3) + 7 \implies 12 = 3a + 7 \implies 3a = 5 \implies a = 5/3$।
उत्तर (Answer): y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, $2x - 3y = 6$ में $x = 0$ रखिए, जिससे $2(0) - 3y = 6 \implies -3y = 6 \implies y = -2$ प्राप्त होता है। अतः, बिंदु $(0, -2)$ है।
उत्तर (Answer): परिभाषा के अनुसार, दो चरों में एक रैखिक समीकरण के लिए $a$ और $b$ दोनों का शून्येतर वास्तविक संख्या होना आवश्यक है, यानी $a^2 + b^2 \neq 0$।
उत्तर (Answer): रेखा $y = 3$ का ग्राफ x-अक्ष के ऊपर 3 इकाई की दूरी पर x-अक्ष के समांतर एक रेखा है।
उत्तर (Answer): विकल्प $(5, 0)$ की जाँच कीजिए: $2(5) + 5(0) = 10 + 0 = 10$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है। अतः, $(5, 0)$ एक हल है।
उत्तर (Answer): दो चरों में $3x + 5 = 0$ लिखने के लिए, हम 0 गुणांक के साथ $y$ को शामिल करते हैं। इस प्रकार, यह $3x + 0y + 5 = 0$ बन जाता है।
उत्तर (Answer): दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ज्यामितीय निरूपण या ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा होता है।
उत्तर (Answer): चूँकि इस रेखा पर प्रत्येक बिंदु के लिए $y = x$ है, यदि x-निर्देशांक $a$ है, तो y-निर्देशांक भी $a$ है। अतः, कोई भी बिंदु $(a, a)$ के रूप का होता है।