मुख्य सूत्र (Key Formulas)
अध्याय: सरल रेखा में गति (Motion in a Straight Line) - त्वरित रिवीजन नोट्स
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1. महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)
- यांत्रिकी (Mechanics): भौतिक विज्ञान की वह शाखा जिसके अंतर्गत वस्तुओं की गति का अध्ययन किया जाता है।
- विराम अवस्था (Rest): यदि किसी वस्तु की स्थिति समय के साथ अपने परिवेश (surroundings) के सापेक्ष नहीं बदलती है, तो उसे विराम में कहा जाता है।
- गति की अवस्था (State of Motion): यदि किसी वस्तु की स्थिति समय के साथ अपने परिवेश के सापेक्ष बदलती है, तो उसे गति में कहा जाता है।
- दूरी (Distance): किसी वस्तु द्वारा तय किए गए मार्ग की कुल लंबाई को दूरी कहते हैं। यह एक अदिश राशि (Scalar Quantity) है। इसका मात्रक मीटर (m) है।
- विस्थापन (Displacement): किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम (सीधी) दूरी को विस्थापन कहते हैं। यह एक सदिश राशि (Vector Quantity) है।
- चाल (Speed): दूरी परिवर्तन की दर को चाल कहते हैं।
- चाल =
दूरी / समय
- वेग (Velocity): विस्थापन परिवर्तन की दर को वेग कहते हैं। यह एक सदिश राशि है।
- वेग =
विस्थापन / समय
- त्वरण (Acceleration): वेग परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
- त्वरण =
वेग परिवर्तन / समय
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2. चाल और वेग के प्रकार (Types of Speed and Velocity)
- औसत चाल (Average Speed):
औसत चाल = तय की गई कुल दूरी / कुल लिया गया समय- ताक्षणिक चाल (Instantaneous Speed): किसी विशेष क्षण पर वस्तु की चाल।
- औसत वेग (Average Velocity):
औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल लिया गया समय- ताक्षणिक वेग (Instantaneous Velocity):
v = dx / dt (विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन)
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3. त्वरण के प्रकार (Types of Acceleration)
- औसत त्वरण (Average Acceleration):
aavg = Δv / Δt = (v2 - v1) / (t2 - t_1)- ताक्षणिक त्वरण (Instantaneous Acceleration):
a = dv / dt = d^2x / dt^2- मंदक (Retardation): ऋणात्मक त्वरण (Negative Acceleration) को मंदक कहते हैं, जब वेग समय के साथ घटता है।
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4. एक समान त्वरण के लिए गति के समीकरण (Equations of Motion for Uniform Acceleration)
यदि कोई वस्तु सीधी रेखा में एकसमान त्वरण ($a$) से गति कर रही है, प्रारंभिक वेग $u$, अंतिम वेग $v$, समय $t$ और तय की गई दूरी $s$ हो, तो गति के तीन समीकरण निम्नलिखित हैं:
1. प्रथम समीकरण (वेग-समय संबंध):
2. द्वितीय समीकरण (विस्थापन-समय संबंध):
3. तृतीय समीकरण (वेग-विस्थापन संबंध):
- $t$ वें सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र ($S_n$):
S_n = u + (a/2)(2n - 1)
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5. गुरुत्व के अधीन गति (Motion Under Gravity)
जब कोई वस्तु ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर या नीचे गिरती है, तो त्वरण $a$ के स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का उपयोग किया जाता है ($g \approx 9.8 m/s^2$ या $10 m/s^2$):
- नीचे गिरती हुई वस्तु के लिए:
- त्वरण
a = +g
v = u + gth = ut + (1/2)gt^2v^2 = u^2 + 2gh
- ऊपर फेंकी गई वस्तु के लिए:
- त्वरण
a = -g
v = u - gth = ut - (1/2)gt^2v^2 = u^2 - 2gh- अधिकतम ऊँचाई (Maximum Height, H):
H = u^2 / (2g)
- उड्डयन काल (Time of Ascent / Descent):
t = u / g
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6. ग्राफिय निरूपण (Graphical Representation)
- विस्थापन-समय ग्राफ (Displacement-Time Graph):
- इस ग्राफ की ढलान (Slope) वस्तु का वेग (Velocity) देती है।
- वेग-समय ग्राफ (Velocity-Time Graph):
- इस ग्राफ की ढलान (Slope) वस्तु का त्वरण (Acceleration) देती है।
- इस ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल (Area under the curve) वस्तु द्वारा तय की गई दूरी/विस्थापन को दर्शाता है।
- त्वरण-समय ग्राफ (Acceleration-Time Graph):
- इस ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वेग परिवर्तन को दर्शाता है।
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7. आपेक्षिक वेग (Relative Velocity)
यदि दो वस्तुएं $A$ और $B$ वेग $vA$ और $vB$ से एक ही दिशा में गति कर रही हैं, तो $B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग:
यदि दोनों वस्तुएं विपरीत दिशा में गति कर रही हैं:
v{AB} = vA - (-vB) = vA + v_B
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 सरल रेखा में गति
परिचय
यांत्रिकी
शुद्धगतिकी
गतिगतिकी
बिंदु वस्तु की अवधारणा
स्थिति, पथ की लंबाई और विस्थापन
स्थिति और निर्देश तंत्र
पथ की लंबाई (दूरी)
विस्थापन
दूरी और विस्थापन में अंतर
औसत वेग और औसत चाल
औसत चाल
औसत वेग
तात्कालिक चाल और वेग
त्वरण
औसत त्वरण
तात्कालिक त्वरण
एक समान और असमान त्वरण
शुद्धगतिक समीकरण (एक समान त्वरण के लिए)
वेग-समय संबंध: $v = u + at$
स्थिति-समय संबंध: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$
वेग-स्थिति संबंध: $v^2 = u^2 + 2as$
n-वें सेकंड में चली गई दूरी
ग्राफिय निरूपण (आलेखीय विधि)
स्थिति-समय ग्राफ
वेग-समय ग्राफ
त्वरण-समय ग्राफ
ग्राफ के उपयोग (ढाल और क्षेत्रफल)
अपेक्षित वेग (सापेक्ष वेग)
परिभाषा
एक ही दिशा में गति
विपरीत दिशा में गति
दैनिक जीवन के उदाहरण
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): दूरी, चाल और द्रव्यमान अदिश राशियाँ हैं क्योंकि उनमें केवल परिमाण होता है। विस्थापन में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जिससे यह एक सदिश राशि बन जाती है।
उत्तर (Answer): v^2 = u^2 - 2as का उपयोग करते हुए, जहाँ v = 0, रुकने की दूरी d = u^2 / 2a। चूंकि मंदन 'a' नियत है, d, u^2 के समानुपाती है। जब चाल दोगुनी हो जाती है (50 से 100), तो रुकने की दूरी 2^2 = 4 गुना हो जाती है। इसलिए, 6 मीटर * 4 = 24 मीटर।
उत्तर (Answer): दूरी s = Integral(v dt) t1 से t2 तक = Integral(At + Bt^2 dt) 1 से 2 तक = [A t^2 / 2 + B t^3 / 3] 1 से 2 तक = A(4/2 - 1/2) + B(8/3 - 1/3) = 3/2 A + 7/3 B।
उत्तर (Answer): nवें सेकंड में तय की गई दूरी s_n = u + a/2 (2n - 1) द्वारा दी जाती है। विराम से स्वतंत्र पतन के लिए, u = 0, a = g। अतः s_1 : s_2 : s_3 = (2(1)-1) : (2(2)-1) : (2(3)-1) = 1 : 3 : 5।
उत्तर (Answer): प्रारंभिक वेग u = 60 किमी/घंटा = 60 * (5/18) = 50/3 मीटर/सेकंड। अंतिम वेग v = 0। समय t = 2 मिनट = 120 सेकंड। त्वरण a = (v - u)/t = (0 - 50/3) / 120 = -50 / 360 = -5/36 मीटर/सेकंड^2। मंदन 5/36 मीटर/सेकंड^2 है।
उत्तर (Answer): समय के किसी दिए गए क्षण पर किसी कण की केवल एक ही स्थिति हो सकती है। एक स्थिति-समय ग्राफ जो एक ही समय के लिए दो स्थितियाँ दिखाता है, असंभव है, क्योंकि इसका मतलब एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगा जो एक ही t के लिए x के कई मानों को दर्शाती है।
उत्तर (Answer): तात्क्षणिक चाल को समय के किसी दिए गए क्षण पर तात्क्षणिक वेग के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, सही विकल्प तात्क्षणिक वेग है।
उत्तर (Answer): v = ds/dt = 3t^2 - 12t + 3। त्वरण a = dv/dt = 6t - 12। दिया गया है a = 0, अतः 6t - 12 = 0 => t = 2 सेकंड। v में t = 2 रखने पर: v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 मीटर/सेकंड।
उत्तर (Answer): एक समान त्वरण के लिए, विस्थापन समय का एक द्विघात फलन होता है (s = ut + 1/2 at^2), जो एक परवलय को दर्शाता है। इसलिए, ग्राफ एक परवलय होता है।
उत्तर (Answer): अधिकतम ऊंचाई पर, अंतिम वेग v = 0 होता है। v^2 = u^2 - 2gh का उपयोग करने पर, 0 = u^2 - 2gh_max मिलता है, जिससे h_max = u^2 / 2g प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): गति का तीसरा समीकरण v^2 = u^2 + 2as है, जो अंतिम वेग (v), प्रारंभिक वेग (u), त्वरण (a), और विस्थापन (s) से संबंधित है।
उत्तर (Answer): गति के समीकरण h = 1/2 g t^2 का उपयोग करने पर, हमें t = sqrt(2h/g) मिलता है। इस प्रकार, t, sqrt(h) के समानुपाती होता है। इसलिए, सही विकल्प sqrt(h) है।
उत्तर (Answer): वेग v = dx/dt = 3 - 8t + 3t^2। प्रारंभिक समय t = 0 पर, v = 3 - 8(0) + 3(0)^2 = 3 मीटर/सेकंड। इसलिए, सही विकल्प 3 मीटर/सेकंड है।
उत्तर (Answer): समान दूरियों के लिए औसत चाल = 2v1v2 / (v1 + v2) = (2 * 40 * 60) / (40 + 60) = 4800 / 100 = 48 किमी/घंटा।
उत्तर (Answer): विस्थापन सबसे छोटा रास्ता है, जबकि दूरी वास्तविक पथ की लंबाई है। इस प्रकार, विस्थापन का परिमाण हमेशा दूरी से कम या उसके बराबर होता है। अतः अनुपात <= 1 होता है।