संबंध एवं फलन

कक्षा 11 गणित: संबंध और फलन (Relations and Functions) - त्वरित संशोधन नोट्स

1. क्रमित युग्म (Ordered Pair)

• दो वस्तुओं या संख्याओं का ऐसा युग्म जिन्हें एक निश्चित क्रम में लिखा जाता है, क्रमित युग्म कहलाता है। इसे (a, b) द्वारा दर्शाया जाता है।
• यदि (a, b) = (c, d), तो a = c और b = d होता है।

2. कार्तीय गुणन (Cartesian Product of Sets)

• दो अरिक्त समुच्चयों A और B का कार्तीय गुणन A × B सभी क्रमित युग्मों (a, b) का समुच्चय होता है, जहाँ a ∈ A और b ∈ B।
• गणितीय रूप: A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
• यदि n(A) = p और n(B) = q, तो n(A × B) = pq।
• A × B ≠ B × A (जब तक कि A = B न हो)।

3. संबंध (Relations)

• दो अरिक्त समुच्चयों A और B के बीच का संबंध R, कार्तीय गुणन A × B का एक उपसमुच्चय होता है। यानी R ⊆ A × B।
• समुच्चय निर्माण रूप: R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B, संबंध (x, y)}
• प्रांत (Domain): संबंध R के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय।
• Domain(R) = {a : (a, b) ∈ R}
• सहप्रांत (Codomain): समुच्चय B को संबंध R का सहप्रांत कहा जाता है।
• परिसर (Range): संबंध R के सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय।
• Range(R) = {b : (a, b) ∈ R} (परिसर ⊆ सहप्रांत)

4. संबंधों के प्रकार (Types of Relations)

यदि कोई संबंध समुच्चय A पर परिभाषित है (R ⊆ A × A):

• रिक्त संबंध (Void Relation): जब समुच्चय A का कोई भी अवэле्म A के किसी भी अवयव से संबंधित न हो (R = φ)।
• सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation): जब समुच्चय A का प्रत्येक अवयव A के प्रत्येक अवयव से संबंधित हो (R = A × A)।
• स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation): यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R हो।
• सममित संबंध (Symmetric Relation): यदि (a, b) ∈ R होने पर (b, a) ∈ R हो, जहाँ a, b ∈ A।
• संक्रामक संबंध (Transitive Relation): यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R होने पर (a, c) ∈ R हो, जहाँ a, b, c ∈ A।
• तुल्यता संबंध (Equivalence Relation): वह संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक तीनों हो, तुल्यता संबंध कहलाता है।

5. फलन (Functions)

• दो अरिक्त समुच्चयों A और B के बीच एक संबंध f, फलन कहलाता है यदि A के प्रत्येक अवयव का B में अद्वितीय (unique) प्रतिबिंब हो।
• इसे f: A → B से लिखा जाता है।
• यदि (x, y) ∈ f, तो f(x) = y, जहाँ y को x का प्रतिबिंब (image) और x को y का पूर्बप्रतिबिंब (pre-image) कहते हैं।
• यहाँ A फलन का प्रांत और B सहप्रांत कहलाता है।
• परिसर (Range): {f(x) : x ∈ A} जो कि सहप्रांत का एक उपसमुच्चय होता है।

6. वास्तविक फलन और उनके ग्राफ (Real Functions and their Graphs)

• ऐसा फलन जिसका प्रांत और परिसर दोनों ही वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R हो (या उसका उपसमुच्चय हो), वास्तविक फलन कहलाता है।

#### कुछ महत्वपूर्ण वास्तविक फलन:

1. तत्समक फलन (Identity Function):

• f(x) = x सभी x ∈ R के लिए।
• प्रांत = R, परिसर = R

2. अचर फलन (Constant Function):

• f(x) = c जहाँ c एक अचर है।
• प्रांत = R, परिसर = {c}

3. मापांक फलन (Modulus Function):

• f(x) = |x| = { x (यदि x ≥ 0), -x (यदि x < 0) }
• प्रांत = R, परिसर = [0, ∞)

4. चिह्न फलन (Signum Function):

• f(x) = { 1 (यदि x > 0), 0 (यदि x = 0), -1 (यदि x < 0) }
• प्रांत = R, परिसर = {-1, 0, 1}

5. महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function):

• f(x) = [x] (यह x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है)
• प्रांत = R, परिसर = पूर्णांकों का समुच्चय (Z)

7. फलनों का बीजगणित (Algebra of Real Functions)

यदि f: X → R और g: X → R दो वास्तविक फलन हैं, तो:

• योग: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• अंतर: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• अदिश गुणन: (cf)(x) = c × f(x) (जहाँ c एक अचर है)
• गुणा (बिंदुवार): (f.g)(x) = f(x) × g(x)
• भाग: (f/g)(x) = f(x) / g(x) (जहाँ g(x) ≠ 0)