सरल रेखाएँ

कक्षा 11 गणित - सरल रेखाएँ (Straight Lines) - त्वरित संशोधन नोट्स

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1. प्रवणता (Slope / Gradient)

यदि कोई रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण $\theta$ बनाती है, तो उस रेखा की प्रवणता (या ढाल) $m$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

• m = tan(theta) (जहाँ $\theta \neq 90^\circ$)
• दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता: यदि रेखा दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से होकर जाती है, तो:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

• समानांतर रेखाओं की शर्त: दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि उनकी प्रवणताएँ बराबर हों: m1 = m2
• लंबवत रेखाओं की शर्त: दो रेखाएँ परस्पर लंबवत होती हैं यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 हो: m1 * m2 = -1

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2. रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप (Forms of the Equation of a Line)

• क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ (Horizontal and Vertical Lines):
• x-अक्ष का समीकरण: y = 0
• y-अक्ष का समीकरण: x = 0
• x-अक्ष के समानांतर किसी रेखा का समीकरण: y = b
• y-अक्ष के समानांतर किसी रेखा का समीकरण: x = a

• बिंदु-प्रवणता रूप (Point-Slope Form):

यदि रेखा की प्रवणता m है और वह बिंदु (x1, y1) से गुजरती है, तो समीकरण:

y - y1 = m(x - x1)

• दो-बिंदु रूप (Two-Point Form):

यदि रेखा बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरती है, तो समीकरण:

y - y1 = [(y2 - y1) / (x2 - x1)] * (x - x1)

• प्रवणता-अंतःखंड रूप (Slope-Intercept Form):

यदि रेखा की प्रवणता m है और वह y-अक्ष पर c अंतःखंड काटती है, तो समीकरण:

y = mx + c

(यदि रेखा मूल बिंदु से जाती है, तो c = 0, समीकरण y = mx होगा)

• अंतःखंड रूप (Intercept Form):

यदि रेखा x-अक्ष पर a और y-अक्ष पर b अंतःखंड काटती है, तो समीकरण:

(x / a) + (y / b) = 1

• अभिलंब रूप (Normal Form):

यदि मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई p है और लंब x-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है, तो समीकरण:

x cos(alpha) + y sin(alpha) = p

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3. रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of a Line)

रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण इस प्रकार होता है:

Ax + By + C = 0 (जहाँ A और B एक साथ शून्य नहीं हैं)

• व्यापक समीकरण से प्रवणता निकालना:

m = - (A / B)

• x-अंतःखंड: - (C / A)
• y-अंतःखंड: - (C / B)

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4. दो रेखाओं के बीच का कोण (Angle between Two Lines)

यदि दो रेखाओं की प्रवणताएँ m1 और m2 हैं, तो उनके बीच का न्यून कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:

tan(theta) = | (m2 - m1) / (1 + m1 * m2) |

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5. बिंदु से रेखा की दूरी (Distance of a Point from a Line)

दिए गए बिंदु (x1, y1) से रेखा Ax + By + C = 0 की लंबवत दूरी d का सूत्र:

d = |Ax1 + By1 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

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6. दो समानांतर रेखाओं کے बीच की दूरी (Distance between Two Parallel Lines)

दो समानांतर रेखाओं Ax + By + C1 = 0 और Ax + By + C2 = 0 के बीच की दूरी d:

d = |C1 - C2| / sqrt(A^2 + B^2)