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शंकु परिच्छेद

Subject: गणित | Class: Class 11 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 11 गणित - शंकु परिच्छेद (Conic Sections) त्वरित संशोधन नोट्स

शंकु परिच्छेद एक लंबवृत्तीय खोखले शंकु के तल द्वारा काटे गए प्रतिच्छेदन से प्राप्त वक्र होते हैं। इसके अंतर्गत चार मुख्य आकृतियाँ आती हैं: वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय।


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1. वृत्त (Circle)

वृत्त एक तल में एक निश्चित बिंदु से अचर दूरी पर घूमने वाले बिंदु का बिंदुपथ होता है। निश्चित बिंदु को 'केंद्र' और अचर दूरी को 'त्रिज्या' कहते हैं।


(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

जहाँ (h, k) वृत्त का केंद्र है और r त्रिज्या है।

x^2 + y^2 = r^2

x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0


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2. परवलय (Parabola)

परवलय ऐसे बिंदुओं का बिंदुपथ है जो एक स्थिर बिंदु (नाभि) और एक स्थिर सरल रेखा (नियता) से समान दूरी पर रहते हैं।




| समीकरण | नाभि (Focus) | नियता (Directrix) | अक्ष | नाभिलंब की लंबाई |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y^2 = 4ax | (a, 0) | x = -a | x-अक्ष | 4a |

| y^2 = -4ax | (-a, 0) | x = a | x-अक्ष | 4a |

| x^2 = 4ay | (0, a) | y = -a | y-अक्ष | 4a |

| x^2 = -4ay | (0, -a) | y = a | y-अक्ष | 4a |


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3. दीर्घवृत्त (Ellipse)

दीर्घवृत्त तल के उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ है जिनकी दो स्थिर बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग अचर रहता है।


x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (जहाँ a > b)



(नोट: यदि b > a हो, तो समीकरण x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1 होता है और सभी सूत्र तदनुसार बदल जाते हैं।)


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4. अतिपरवलय (Hyperbola)

अतिपरवलय उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जिनकी दो स्थिर बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का अंतर अचर होता है।


x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1



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महत्वपूर्ण संबंध (Quick Summary)

1. परवलय के लिए: उत्केंद्रता e = 1

2. दीर्घवृत्त के लिए: उत्केंद्रता e < 1

3. अतिपरवलय के लिए: उत्केंद्रता e > 1

माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 शंकु परिच्छेद (Conic Sections)
Overview
परिचय (Introduction) शंकु परिच्छेद की परिभाषा डबल राइट सर्कुलर शंकु समतल द्वारा प्रतिच्छेदन शंकु परिच्छेद के प्रकार (Types of Conic Sections) वृत्त (Circle) परवलय (Parabola) दीर्घवृत्त (Ellipse) अतिपरवलय (Hyperbola) अपक्षयी शंकु (Degenerate Conics) वृत्त (Circle) परिभाषा: निश्चित बिंदु से समान दूरी मानक समीकरण: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ मूल बिंदु पर केंद्र वाला वृत्त: $x^2 + y^2 = r^2$ केंद्र और त्रिज्या निकालना परवलय (Parabola) परिभाषा: नाभि (Focus) और नियता (Directrix) से समदूरस्थ बिंदु मुख्य शब्द: नाभि, नियता, अक्ष, शीर्ष, नाभिलंब जीवा मानक समीकरण (चार प्रकार): $y^2 = 4ax$ $y^2 = -4ax$ $x^2 = 4ay$ $x^2 = -4ay$ विशेषताएँ और नाभिलंब की लंबाई ($4a$) दीर्घवृत्त (Ellipse) परिभाषा: दो नाभियों से दूरियों का योग अचर मुख्य शब्द: नाभियाँ, केंद्र, प्रमुख अक्ष, दीर्घ अक्ष, लघु अक्ष मानक समीकरण (दो प्रकार): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b$) $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ ($a > b$) उत्केंद्रता (Eccentricity, $e < 1$) नाभिलंब जीवा की लंबाई ($\frac{2b^2}{a}$) अतिपरवलय (Hyperbola) परिभाषा: दो नाभियों से दूरियों का अंतर अचर मुख्य शब्द: नाभियाँ, केंद्र, अनुप्रस्थ अक्ष, संयुग्मी अक्ष मानक समीकरण (दो प्रकार): $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ उत्केंद्रता (Eccentricity, $e > 1$) नाभिलंब जीवा की लंबाई ($\frac{2b^2}{a}$) महत्वपूर्ण बिंदु और सूत्र (Important Points & Formulas) विभिन्न वक्रों की उत्केंद्रता ($e$) की तुलना व्यावहारिक अनुप्रयोग (खगोलीय कक्षाएँ, पुल, रिफ्लेक्टर)
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की अनंतस्पर्शियों (asymptotes) के बीच का कोण किस पर निर्भर करता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की अनंतस्पर्शियाँ $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं। उनके बीच का कोण $\theta$, $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है, जो सीधे तौर पर $b$ और $a$ के अनुपात पर निर्भर करता है।
Q2. वृत्त की उत्केंद्रता होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): वृत्त दीर्घवृत्त का एक विशेष रूप है जहाँ नाभियाँ केंद्र के संपाती होती हैं, जिसका अर्थ है कि नाभियों के बीच की दूरी शून्य है। अतः उत्केंद्रता $e = 0$ होती है।
Q3. दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु की नाभिकीय दूरियों का योग किसके बराबर होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): परिभाषा के अनुसार, दीर्घवृत्त ऐसे बिंदु का बिंदुपथ है जिसकी दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग अचर रहता है, और यह योग हमेशा दीर्घ अक्ष की लंबाई ($2a$) के बराबर होता है।
Q4. नाभि $(4, 0)$ और नियता $x = -4$ वाले परवलय का समीकरण है: 1 Marks
उत्तर (Answer): नाभि $(4, 0)$ है जो $(a, 0)$ के रूप में है, अतः $a = 4$ है। नियता $x = -4$ है (अर्थात $x = -a$)। इसका तात्पर्य है कि परवलय दाईं ओर खुलता है और इसका मानक समीकरण $y^2 = 4ax$ है। $a = 4$ रखने पर, हमें $y^2 = 16x$ प्राप्त होता है।
Q5. अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई है: 1 Marks
उत्तर (Answer): अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ होती है। यहाँ $a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$ है। अतः अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 \times 4 = 8$ इकाई है।
Q6. समतल में गतिमान उस बिंदु का बिंदुपथ जिसकी एक निश्चित बिंदु और एक निश्चित सरल रेखा से दूरियों का अनुपात अचर और $1$ के बराबर है, क्या कहलाता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): परिभाषा के अनुसार, एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ जिसकी एक निश्चित बिंदु (नाभि) से दूरी एक निश्चित सरल रेखा (नियता) से दूरी के बराबर होती है, की उत्केंद्रता $1$ होती है। यह शंकु परिच्छेद परवलय कहलाता है।
Q7. समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ एक वृत्त को निरूपित करती है जिसकी त्रिज्या है: 1 Marks
उत्तर (Answer): $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर, $2g = -2 \Rightarrow g = -1$, $2f = 4 \Rightarrow f = 2$, और $c = -4$ प्राप्त होता है। त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
Q8. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ के नाभिलंब की लंबाई है: 1 Marks
उत्तर (Answer): दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (जहाँ $a > b$) के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है। यहाँ $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$, और $b^2 = 9$ है। अतः लंबाई $\frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$ है।
Q9. यदि किसी वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ है, तो इसका केंद्र है: 1 Marks
उत्तर (Answer): वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है, जहाँ $(h, k)$ केंद्र है। $(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$ की तुलना मानक रूप से करने पर, $h = 3$ और $k = -2$ प्राप्त होता है। अतः केंद्र $(3, -2)$ है।
Q10. अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं: 1 Marks
उत्तर (Answer): मानक क्षैतिज अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, शीर्ष $(\pm a, 0)$ पर स्थित होते हैं। यहाँ $a^2 = 9$ है, जिससे $a = 3$ प्राप्त होता है। अतः शीर्ष $(\pm 3, 0)$ हैं।
Q11. परवलय की उत्केंद्रता हमेशा होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): परिभाषा के अनुसार, एक शंकु परिच्छेद को परवलय कहा जाता है यदि उसकी उत्केंद्रता $e$ का मान $1$ के बराबर हो। वृत्त के लिए $e=0$, दीर्घवृत्त के लिए $0 < e < 1$, परवलय के लिए $e = 1$, और अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होता है।
Q12. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई है: 1 Marks
उत्तर (Answer): दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, जहाँ $a > b$ है, दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ होती है। यहाँ $a^2 = 36$ है, इसलिए $a = 6$ है। अतः दीर्घ अक्ष की लंबाई $2 \times 6 = 12$ इकाई है।
Q13. परवलय $y^2 = 8x$ की नियता (directrix) का समीकरण है: 1 Marks
उत्तर (Answer): $y^2 = 8x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर, $4a = 8$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $a = 2$। परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए नियता का समीकरण $x = -a$ होता है। अतः नियता का समीकरण $x = -2$ है।
Q14. निम्नलिखित में से कौन सा एक परवलय को निरूपित करता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): परवलय एक शंकु परिच्छेद है जिसकी उत्केंद्रता $e = 1$ होती है। गणितीय रूप से, द्वितीय घात के व्यापक समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ में, परवलय तब बनता है जब $B^2 - 4AC = 0$ हो। विकल्पों में से $y^2 = 4ax$ परवलय का मानक समीकरण है।
Q15. वृत्त $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ की त्रिज्या है: 1 Marks
उत्तर (Answer): दी गई समीकरण की तुलना सामान्य वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर, $2g = 8 \Rightarrow g = 4$, $2f = -6 \Rightarrow f = -3$, और $c = 9$ प्राप्त होता है। त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{16 + 9 - 9} = \sqrt{16} = 4$ है।
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