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सीमा और अवकलज

Subject: गणित | Class: Class 11 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)

कक्षा 11 गणित - सीमा और अवकलन (Limits and Derivatives) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स


यह फॉर्मूला शीट मध्य प्रदेश बोर्ड (MP Board) के कक्षा 11 के विद्यार्थियों के लिए "सीमा और अवकलन" अध्याय के त्वरित संशोधन के लिए बनाई गई है।


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### अवधारणा 1: सीमा की परिभाषा (Definition of Limit)

मान लीजिए y = f(x) फलन x का एक वास्तविक फलन है और a एक वास्तविक संख्या है। जब x का मान a की ओर अग्रसर होता है (लेकिन x ≠ a), तो फलन f(x) जिस निश्चित मान की ओर अग्रसर होता है, उसे फलन f(x) की x = a पर सीमा कहते हैं। इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

lim (x -> a) f(x) = L


### अवधारणा 2: बायीं सीमा और दायीं सीमा (Left Hand and Right Hand Limit)

LHL = RHL = परिमित मान (Finite Value)


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### महत्वपूर्ण बीजगणितीय सीमाएँ (Important Algebraic Limits)

1. lim (x -> a) [x^n - a^n] / [x - a] = n * a^(n-1)

2. lim (x -> 0) [sin x] / [x] = 1 (यहाँ x रेडियन में है)

3. lim (x -> 0) [tan x] / [x] = 1

4. lim (x -> 0) [1 - cos x] / [x] = 0

5. lim (x -> 0) [e^x - 1] / [x] = 1

6. lim (x -> 0) [log_e(1 + x)] / [x] = 1

7. lim (x -> 0) [a^x - 1] / [x] = log_e(a)


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### अवधारणा 3: अवकलन (Derivatives)

प्रथम सिद्धांत (First Principle) से किसी फलन f(x) का अवकलज (Derivative) इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / [h]


इसे dy/dx, f'(x) या y' से प्रदर्शित किया जाता है।


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### महत्वपूर्ण अवकलन के सूत्र (Important Differentiation Formulas)

#### 1. बीजगणितीय फलन (Algebraic Functions)


#### 2. त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions)


#### 3. चरघातांकी और लघुगणकीय फलन (Exponential and Logarithmic Functions)


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### अवकलन के बीजगणित के नियम (Algebra of Derivatives)

मान लीजिए u और v x के दो अवकलनीय फलन हैं:


1. योग नियम (Sum Rule):

d/dx [u + v] = du/dx + dv/dx


2. अंतर नियम (Difference Rule):

d/dx [u - v] = du/dx - dv/dx


3. गुणन नियम (Product Rule):

d/dx [u v] = u (dv/dx) + v * (du/dx)


4. भागफल नियम (Quotient Rule):

d/dx [u / v] = [v (du/dx) - u (dv/dx)] / v^2 (बशर्ते v ≠ 0)

माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 सीमा और अवकलज
Overview
सीमा का परिचय फलन का मान समझना वाम पक्षीय सीमा दक्षिण पक्षीय सीमा अस्तित्व की शर्त सीमा के बीजगणितीय बीजगणित योग नियम अंतर नियम गुणन नियम भागफल नियम मानक सीमाएँ त्रिकोणमितीय सीमाएँ लघुगणकीय सीमाएँ चरघातांकीय सीमाएँ बीजगणितीय विशिष्ट सूत्र अवकलज की संकल्पना तात्कालिक परिवर्तन की दर स्पर्श रेखा की प्रवणता प्रथम सिद्धांत से अवकलज परिभाषा $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ अवकलन के बीजगणितीय सूत्र योग नियम अंतर नियम गुणन नियम भागफल नियम विशिष्ट फलनों के अवकलज बहुपद फलन त्रिकोणमितीय फलन चरघातांकीय फलन लघुगणकीय फलन
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): 2 से गुणा और भाग करने पर, हमें $\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$ प्राप्त होता है।
Q2. $x$ के सापेक्ष $\frac{u}{v}$ का अवकलज क्या है (भाग नियम)? 1 Marks
उत्तर (Answer): अवकलन के भाग नियम के अनुसार, $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ होता है, बशर्ते $v \neq 0$ हो।
Q3. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): जैसे-जैसे $x \to 0$, अंश $\cos(0) = 1$ होता है, जबकि हर $x \to 0$ होता है। अतः, सीमा का मान $1 / 0$ है, जिसका अर्थ है कि सीमा का अस्तित्व नहीं है (या अनंत की ओर अग्रसर है)।
Q4. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): अंश को $(x - 3)(x + 3)$ के रूप में गुणनखंडित करने पर, व्यंजक सरल होकर $\lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$ हो जाता है।
Q5. $x$ के सापेक्ष $f(x) = \log x$ का अवकलज ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): प्राकृतिक लघुगणकीय फलन के लिए प्रथम सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, $\log_e x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{1}{x}$ होता है।
Q6. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): $a$ से गुणा और भाग करने पर, हमें $\lim_{x \to 0} a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = a \cdot 1 = a$ प्राप्त होता है।
Q7. $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): यह एक मानक सीमा सूत्र है। बीजगणितीय विभाजन या लापिटल नियम का उपयोग करके, सीमा $n(1)^{n-1} = n$ के बराबर है।
Q8. $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$ का अवकलज ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): घात नियम और योग नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(7) = 6x + 5 - 0 = 6x + 5$ प्राप्त होता है।
Q9. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): लघुगणकीय श्रेणी विस्तार $\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots$ का उपयोग करके, $x$ से विभाजित करने और $x \to 0$ पर सीमा लेने पर 1 प्राप्त होता है।
Q10. $f(x) = \cos x$ का अवकलज ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): प्रथम सिद्धांत या भाग नियम का उपयोग करके, $x$ के सापेक्ष $\cos x$ का अवकलज $-\sin x$ होता है।
Q11. $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): अंश को $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ के रूप में गुणनखंडित करने पर, व्यंजक $\lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2(2) + 4 = 12$ हो जाता है।
Q12. प्रथम सिद्धांतों का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x) = \sin x$ का अवकलज ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): परिभाषा के अनुसार, अवकलज $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ है। $\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ का उपयोग करके, सीमा सरल होकर $\cos x$ हो जाती है।
Q13. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$ का उपयोग करने पर, व्यंजक $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x/2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} \cdot \sin(x/2) = 1 \cdot 0 = 0$ हो जाता है।
Q14. $x = 1$ पर $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$ का अवकलज क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): सबसे पहले, अवकलज ज्ञात कीजिए: $f'(x) = 6x + 5$। फिर $x = 1$ प्रतिस्थापित कीजिए: $f'(1) = 6(1) + 5 = 11$।
Q15. यदि $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ है, तो दो फलनों के भागफल के लिए अवकलज का नियम क्या है (जहाँ $v(x) \neq 0$)? 1 Marks
उत्तर (Answer): भागफल नियम के अनुसार, $\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ होता है।
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