त्रिभुज

Q1. 2. **संख्यात्मक प्रश्न:** $\triangle ABC$ में, भुजा $AB = 7$ सेमी, भुजा $AC = 9$ सेमी और $\angle BAC = 60^{\circ}$ है।\ a) कोसाइन नियम का उपयोग करके भुजा $BC$ की लंबाई निकालिए।\ b) सूत्र $\text{Area}=\frac{1}{2}ab\sin C$ से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालिए। सभी चरण स्पष्ट रूप से दिखाइए। 5 Marks

उत्तर (Answer): ### a) कोसाइन नियम से $BC$ की लंबाई निकालना 1. **ज्ञात मानों की पहचान**: - $a = BC$ (जिसे हमें निकालना है) - $b = AC = 9$ सेमी - $c = AB = 7$ सेमी - सम्मिलित कोण $A = \angle BAC = 60^{\circ}$. 2. **कोसाइन नियम लिखें**: \[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\] 3. **मानों को प्रतिस्थापित करें**: \[a^{2}=9^{2}+7^{2}-2\times9\times7\cos 60^{\circ}\] \[a^{2}=81+49-126\times\frac{1}{2}\] \[a^{2}=130-63\] \[a^{2}=67\] 4. **वर्गमूल निकालें**: \[a=\sqrt{67}\approx 8.19\text{ सेमी}\] अतः, $BC \approx 8.19$ सेमी है। ### b) $\frac{1}{2}ab\sin C$ से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना 1. **दो भुजाएँ और उनका सम्मिलित कोण चुनें**। यहाँ हम $AB$ और $AC$ तथा उनका सम्मिलित कोण $A = 60^{\circ}$ उपयोग करेंगे। 2. **क्षेत्रफल का सूत्र लागू करें**: \[\text{Area}=\frac{1}{2}\times AB \times AC \times \sin 60^{\circ}\] \[\text{Area}=\frac{1}{2}\times 7 \times 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\] 3. **क्रमशः गणना**: - $\frac{1}{2}\times 7 \times 9 = \frac{63}{2}=31.5$ - $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$ - गुणा करें: $31.5 \times 0.866 \approx 27.27$ सेमी$^2$. 4. **परिणाम**: त्रिभुज का क्षेत्रफल लगभग $27.3$ वर्ग सेंटीमीटर है। **अंतिम उत्तर**: - $BC \approx 8.19$ सेमी - क्षेत्रफल $\approx 27.3$ सेमी$^2$

Q2. 1. **किसी भी त्रिभुज के लिए साइन नियम (Sine Rule) और कोसाइन नियम (Cosine Rule) को लिखिए और सिद्ध कीजिए।** स्पष्ट शीर्षकों और बुलेट पॉइंट्स के साथ बताइए कि प्रत्येक नियम कैसे निकाला जाता है और त्रिभुजों के अध्ययन में इन नियमों के दो अलग‑अलग प्रकार के प्रश्नों में उनका प्रयोग कैसे किया जाता है। 5 Marks

उत्तर (Answer): ## 1. साइन नियम (Law of Sines) - **विधान**: किसी भी त्रिभुज $\triangle ABC$ में, जहाँ भुजाएँ $a, b, c$ क्रमशः कोण $A, B, C$ के सामने हैं, तो \[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\] जहाँ $R$ वह वृत्त की त्रिज्या है जो त्रिभुज को परिकेंद्र (circum‑circle) में घेरता है। - **सिद्धि**: 1. त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र $O$ बनाइए और $O$ को प्रत्येक शीर्ष से जोड़िए। 2. प्रत्येक भुजा अब वृत्त की एक chord बन जाती है। 3. किसी chord की लंबाई $2R\sin\theta$ होती है, जहाँ $\theta$ वह केन्द्रीय कोण है जो chord को subtend करता है। 4. अतः, $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$। 5. प्रत्येक समीकरण को संबंधित sine से भाग देने पर वांछित अनुपात प्राप्त होता है। ## 2. कोसाइन नियम (Law of Cosines) - **विधान**: उसी त्रिभुज के लिये, \[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\] तथा इसी प्रकार $b^{2}$ और $c^{2}$ के लिये। - **सिद्धि**: 1. शीर्ष $A$ से भुजा $BC$ पर लम्ब खींचिए और उसे $D$ पर मिलाइए। मान लीजिए $AD = h$ और $BD = x$ है, तो $DC = b - x$ होगा। 2. समकोण त्रिभुज $\triangle ABD$ और $\triangle ADC$ से: - $a^{2}=h^{2}+x^{2}$ - $c^{2}=h^{2}+(b-x)^{2}$ 3. इन दो समीकरणों को घटाकर सरल करने पर हमें $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ मिलता है। इसी प्रकार अन्य रूप प्राप्त होते हैं। ## 3. अनुप्रयोग - **अज्ञात भुजा निकालना**: जब दो भुजाएँ और उनका सम्मिलित कोण ज्ञात हो, तो कोसाइन नियम से तीसरी भुजा सीधे मिलती है। - **अस्पष्ट स्थिति (SSA)**: दो भुजाएँ और गैर‑समावेशी कोण ज्ञात होने पर साइन नियम से संभावित कोण निकाले जाते हैं, और कोसाइन नियम से उनकी सम्भाव्यता जाँची जाती है। - **क्षेत्रफल की गणना**: साइन नियम को $\text{Area}=\frac{1}{2}ab\sin C$ के साथ मिलाकर केवल एक भुजा और दो कोणों से क्षेत्रफल निकाला जा सकता है। - **वास्तविक जीवन के प्रश्न**: नेविगेशन, सर्वेक्षण और वेक्टर‑आधारित भौतिकी समस्याओं में इन नियमों का प्रयोग करके घटकों को हल किया जाता है। **सारांश**: साइन और कोसाइन दोनों नियम मूलभूत त्रिकोणमितीय संबंधों का विस्तार हैं, जिससे हम किसी भी त्रिभुज को आसानी से हल कर सकते हैं। इनका सिद्धान्त समझने से वृत्त‑ज्यामिति और भुजा‑कोण के बीच के संबंधों की गहरी समझ विकसित होती है।

Q3. ### प्रश्न 2: त्रिभुजों के प्रकार और उनके गुणधर्म 4 Marks

उत्तर (Answer): ### उत्तर 2: त्रिभुजों के प्रकार और उनके गुणधर्म

Q4. ### प्रश्न 1: त्रिभुजों के गुणधर्म 5 Marks

उत्तर (Answer): ### उत्तर 1: त्रिभुजों के गुणधर्म

Q5. एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई ज्ञात करें जिसकी आधार 10 सेमी और समान भुजाएँ 15 सेमी हैं। 2 Marks

उत्तर (Answer): मान लें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसका आधार AB 10 सेमी और समान भुजाएँ AC और BC 15 सेमी हैं। ऊंचाई AD की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं। ऊंचाई AD को खींचें और एक समकोण त्रिभुज ADB बनाएं। त्रिभुज ADB में, BD आधार AB का आधा है, अर्थात् BD = 5 सेमी। पाइथागोरस सिद्धांत का उपयोग करके, हम AD की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं: AD^2 = AC^2 - BD^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200। दोनों ओर वर्गमूल निकालते हुए, हमें AD = √200 = 14.14 सेमी मिलता है।

Q6. समांतर त्रिभुजों की अवधारणा को व्याख्या करें और दो समांतर त्रिभुजों का एक उदाहरण प्रदान करें। 3 Marks

उत्तर (Answer): यदि दो त्रिभुजों के समानांतर भुजाएँ और कोण हों तो उन्हें समांतर त्रिभुज कहा जाता है। अर्थात यदि दो त्रिभुजों का आकार और आकार समान हो तो उन्हें समांतर त्रिभुज कहा जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि त्रिभुज ABC और DEF हैं। यदि त्रिभुज ABC और DEF की समानांतर भुजाएँ हैं, अर्थात् AB = DE, BC = EF, और AC = DF, और समानांतर कोण भी हैं, तो त्रिभुज ABC और DEF को समांतर त्रिभुज कहा जाता है। यह ≅ चिह्न का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, △ABC ≅ △DEF.

Q7. त्रिभुज असमानता प्रमेय को state कीजिए और एक ज्यामितीय निर्माण द्वारा इसे सिद्ध कीजिए। प्रमेय को स्पष्ट करने के लिये विशिष्ट भुजा लंबाइयों के साथ एक विस्तृत उदाहरण दें। 3 Marks

उत्तर (Answer): **त्रिभुज असमानता प्रमेय** यह कहता है कि किसी भी त्रिभुज में दो भुजाओं की लंबाइयों का योग शेष भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। अर्थात्, यदि भुजाएँ $a, b, c$ हों तो $a+b>c$, $b+c>a$ और $c+a>b$ होना चाहिए। **सिद्ध (ज्यामितीय निर्माण):** 1. $AB$ नामक एक रेखा खंड बनाइए जिसकी लंबाई $c$ हो। 2. बिंदु $A$ से एक किरण बनाइए और उस पर बिंदु $C$ को इस प्रकार चिन्हित कीजिए कि $AC = a$ हो। 3. बिंदु $B$ से एक अन्य किरण बनाइए (कोई भी कोण बना सकते हैं) और उस पर बिंदु $D$ को इस प्रकार चिन्हित कीजिए कि $BD = b$ हो। 4. $C$ और $D$ को जोड़िए। यदि $C$ और $D$ $AB$ के विपरीत पक्ष में स्थित हों तो $CD$ की लंबाई $AB$ से अधिक होगी। त्रिभुज $ACD$ के लिए असमानता से हमें $AC + AD > CD$ मिलता है। यहाँ $AD = b$ और $CD > AB = c$ है, इसलिए $a + b > c$ सिद्ध होता है। इसी प्रकार अन्य दो असमानताएँ भी सिद्ध की जा सकती हैं। **उदाहरण:** मान लीजिए भुजाएँ $a = 5$ सेमी, $b = 7$ सेमी, $c = 11$ सेमी हैं। - $a+b = 12 > 11 = c$ ✔ - $b+c = 18 > 5 = a$ ✔ - $c+a = 16 > 7 = b$ ✔\nतीनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए इन भुजाओं से एक त्रिभुज बन सकता है। \nइस प्रकार त्रिभुज असमानता प्रमेय सिद्ध और उदाहरण द्वारा स्पष्ट हो गया।

Q8. एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा 9 सेमी और कर्ण 15 सेमी है। अन्य भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए, प्रत्येक चरण को दिखाते हुए। 2 Marks

उत्तर (Answer): ### चरण 1: ज्ञात भुजाओं की पहचान करें - कर्ण $c = 15$ सेमी - एक भुजा $a = 9$ सेमी - अनजानी भुजा को $b$ मानते हैं। ### चरण 2: पाइथागोरस प्रमेय लिखें\nसमकोण त्रिभुज के लिए, $c^{2}=a^{2}+b^{2}$. ### चरण 3: ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें \[15^{2}=9^{2}+b^{2}\] \[225=81+b^{2}\] ### चरण 4: $b^{2}$ को अलग करें \[b^{2}=225-81\] \[b^{2}=144\] ### चरण 5: वर्गमूल निकालें \[b=\sqrt{144}=12\] सेमी. **उत्तर:** दूसरी भुजा की लंबाई **12 सेमी** है।

Q9. दो त्रिभुजों के समरूप होने के मानदंडों को समझाइए। बताइए कि उनके संगत कोण और भुजाएँ कैसे संबंधित होती हैं, तथा यह भी वर्णन कीजिए कि उनके क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात से कैसे जुड़ा होता है। 3 Marks

उत्तर (Answer): दो त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनका आकार समान हो लेकिन आकार (size) अलग हो सकता है। समरूपता के मानदंड इस प्रकार हैं: 1. **AA (कोण‑कोण) मानदंड** – यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। 2. **SSS (भुजा‑भुजा‑भुजा) मानदंड** – यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के अनुपात में हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। 3. **SAS (भुजा‑कोण‑भुजा) मानदंड** – यदि एक त्रिभुज का कोई कोण दूसरे त्रिभुज के किसी कोण के बराबर हो और इन कोणों को मिलाने वाली भुजाएँ अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। \nसमरूप त्रिभुजों में प्रत्येक संगत कोण समान होते हैं, और संगत भुजाओं की लंबाइयाँ एक ही स्थिर अनुपात $k$ में होती हैं। इसलिए, किसी भी रैखिक माप (परिधि, ऊँचाई, मध्यिका) का मान $k$ से बढ़ता है, जबकि क्षेत्रफल का मान $k^2$ से बढ़ता है। इस प्रकार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: $\frac{\text{क्षेत्रफल}_1}{\text{क्षेत्रफल}_2}=k^2=\left(\frac{\text{भुजा}_1}{\text{भुजा}_2}\right)^2$। यह संबंध ज्यामिति के कई प्रश्नों को हल करने में उपयोगी है।

Q10. त्रिभुज का मध्यबिंदु क्या गुणधर्म रखता है? 2 Marks

उत्तर (Answer): त्रिभुज का मध्यबिंदु इसे दो समान क्षेत्रों में विभाजित करता है। यह गुणधर्म *अपोलोनियस सिद्धांत* के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, किसी भी त्रिभुज के किसी भी दो भुजाओं के वर्गों का योग दोहरी तृतीय भुजा के वर्ग के दोहरे और मध्यबिंदु जो तीसरी भुजा को विभाजित करता है, के वर्ग के दोहरे के बराबर होता है। यह सिद्धांत त्रिभुज के मध्यबिंदु का एक मौलिक गुणधर्म है और ज्यामिति और त्रिकोणमिति में इसके कई अनुप्रयोग हैं।

Q11. एक समबाहु त्रिभुज की विशेषता क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): एक समबाहु त्रिभुज में तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। यह गुण 'समबाहु गुण' के रूप में जाना जाता है। एक समबाहु त्रिभुज के कोण भी समान होते हैं और प्रत्येक कोण 60 डिग्री होता है। यह गुण एक समबाहु त्रिभुज की एक प्रमुख विशेषता है। समबाहु त्रिभुज एक विशेष प्रकार का त्रिभुज है जिसमें सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं। यह गुण इसे ज्यामिति में एक अनोखा और रोचक आकार बनाता है।

Q12. एक समकोण त्रिभुज की विशेषता क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण होता है, जो 90 डिग्री है। समकोण के विपरीत भुजा को हाइपोटेन्यूज़ कहा जाता है, और दूसरी दो भुजाओं को पैर कहा जाता है। पैर समान लंबाई के होते हैं और उनके बीच का कोण 90 डिग्री होता है। यह गुण 'पाइथागोरस गुण' के रूप में जाना जाता है। पाइथागोरस सिद्धांत के अनुसार, हाइपोटेन्यूज़ का वर्ग समान होता है पैरों के वर्गों का योग। यह गुण समकोण त्रिभुज की एक प्रमुख विशेषता है।

Q13. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र क्या है? 1 Marks

उत्तर (Answer): एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र यह है: क्षेत्रफल = (आधार × ऊंचाई) / 2। यह सूत्र किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल को निकालने के लिए उपयोग किया जा सकता है, चाहे वह एक समकोण त्रिभुज हो या नहीं। त्रिभुज का आधार एक पैर की लंबाई है, और ऊंचाई आधार से विपरीत शीर्ष तक की लंबाई है। यह सूत्र ज्यामिति का एक मूलभूत सिद्धांत है और विभिन्न गणितीय और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

Q14. एक समद्विबाहु त्रिभुज की विशेषता क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ होती हैं। यह विशेषता 'समद्विबाहु गुण' के रूप में जानी जाती है। जो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं उन्हें त्रिभुज के पैर कहा जाता है। तीसरी भुजा को आधार कहा जाता है। आधार के विपरीत कोण भी समान होते हैं और इन कोणों को आधार कोण कहा जाता है। दो पैरों के बीच का कोण को शीर्ष कोण कहा जाता है। यह गुण एक समद्विबाहु त्रिभुज की एक प्रमुख विशेषता है।

Q15. यदि त्रिभुज का सबसे लंबा बाहु का वर्ग उनके दोनों अन्य बाहुओं के वर्गों की योगफल के बराबर है, तो त्रिभुज का प्रकार क्या है? 1 Marks

उत्तर (Answer): यदि त्रिभुज का सबसे लंबा बाहु का वर्ग उनके दोनों अन्य बाहुओं के वर्गों की योगफल के बराबर है, तो यह एक **सरल त्रिभुज** है। यह पाइथागोरस सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो एक सरल त्रिभुज में, हाइपोटेन्यूज (दो बाहुओं के विपरीत कोण वाली बाहु) की लंबाई का वर्ग उनके दोनों अन्य बाहुओं की लंबाई के वर्गों की योगफल के बराबर होता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $a^2 + b^2 = c^2$, जहां $a$ और $b$ दो छोटे बाहुओं की लंबाई है, और $c$ हाइपोटेन्यूज की लंबाई है।

त्रिभुज (Triangles) – त्वरित पुनरावृत्ति शीट

1. त्रिभुज की परिभाषा

2. त्रिभुज के मूलभूत सिद्धान्त

3. त्रिभुज के प्रकार

4. समानता (Similarity) के मानदण्ड

5. समरूपता (Congruence) के मानदण्ड

6. त्रिभुज के विशेष रेखाएँ

7. पायथागोरस प्रमेय (समकोण त्रिभुज)

8. त्रिभुज का क्षेत्रफल

9. त्रिभुज का परिमाप

10. विशेष त्रिभुजों के अतिरिक्त सूत्र

11. उपयोगी त्रिकोणमितीय मान

12. संक्षिप्त याद रखने योग्य बिंदु