अध्याय: अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) - त्वरित रिवीजन नोट्स
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1. अनुपात (Ratio) की परिभाषा
- जब दो एक जैसी मात्राओं (quantities) की तुलना भाग देकर (division द्वारा) की जाती है, तो उसे अनुपात कहते हैं।
- अनुपात को दर्शाने के लिए कोलन चिन्ह (
:) का उपयोग किया जाता है।
- महत्वपूर्ण बिंदु: अनुपात निकालते समय दोनों राशियों की इकाइयाँ (units) समान होनी चाहिए।
- प्रतीक: यदि दो राशियाँ $a$ और $b$ हैं, तो उनका अनुपात
a : b लिखा जाता है। इसे "a अनुपात b" पढ़ा जाता है। यहाँ $b \neq 0$ होना चाहिए।
- इकाई रहित: अनुपात की कोई इकाई (unit) नहीं होती है।
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2. समतुल्य अनुपात (Equivalent Ratios)
- किसी अनुपात के दोनों पदों को एक ही गैर-शून्य संख्या (non-zero number) से गुणा या भाग देने पर समतुल्य अनुपात प्राप्त होता है।
- उदाहरण: अनुपात
2 : 3 का समतुल्य अनुपात 4 : 6 या 6 : 9 हो सकता है।
- इसे भिन्न (Fraction) की तरह सरल किया जा सकता है, जैसे
10 : 15 को 2 : 3 लिखा जा सकता है।
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3. समानुपात (Proportion) की परिभाषा
- जब दो अनुपात आपस में बराबर होते हैं, तो वे समानुपात में कहलाते हैं।
- प्रतीक: समानुपात को दर्शाने के लिए चार बिंदुओं (
::) या बराबर के निशान (=) का उपयोग किया जाता है।
- रूप: यदि
a : b और c : d बराबर हैं, तो हम लिखते हैं:
a : b :: c : d (इसे पढ़ा जाता है: "a, b के साथ उसी अनुपात में है जिस अनुपात में c, d के साथ है")।
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4. समानुपात के पद (Terms of Proportion)
समानुपात a : b :: c : d में कुल चार पद होते हैं:
1. पहला पद (First term): $a$
2. दूसरा पद (Second term): $b$
3. तीसरा पद (Third term): $c$
4. चौथा पद (Fourth term): $d$
- चरम पद (Extremes): बाहर वाले पद यानि $a$ और $d$।
- मध्य पद (Means): अंदर वाले पद यानि $b$ और $c$।
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5. समानुपात का मुख्य नियम (Fundamental Rule of Proportion)
- चार राशियाँ $a, b, c, d$ समानันुपात में होंगी यदि और केवल यदि:
मध्य पदों का गुणनफल = चरम पदों का गुणनफल
यानि, b × c = a × d
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6. ऐकिक विधि (Unitary Method)
- पहले एक इकाई (1 unit) का मान ज्ञात करना और फिर जितनी इकाइयों का मान पूछा गया है, उससे गुणा करके उत्तर निकालना ऐकिक विधि कहलाता है।
- चरण:
1. अधिक वस्तुओं का मूल्य दिया होने पर 1 वस्तु का मूल्य निकालने के लिए भाग (Division) करें।
2. 1 वस्तु का मूल्य पता होने पर अधिक वस्तुओं का मूल्य निकालने के लिए गुणा (Multiplication) करें।
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7. याद रखने योग्य मुख्य बातें (Key Takeaways)
1. अनुपात में क्रम (order) का बहुत महत्व होता है। उदाहरण के लिए, 2 : 3 और 3 : 2 दोनों अलग-अलग हैं।
2. अनुपात हमेशा सरलतम रूप (simplest form) में लिखा जाना चाहिए (यानी उनके बीच 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो)।
3. तुलना करते समय दोनों राशियों की इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए (जैसे- मीटर को सेंटीमीटर में बदलकर)।