मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 7 गणित - परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स
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### अवधारणा 1: परिमेय संख्या क्या है?
- परिभाषा: ऐसी संख्या जिसे
p / q के रूप में लिखा जा सके, परिमेय संख्या कहलाती है। यहाँ p और q पूर्णांक (Integers) हैं और q ≠ 0 (हर शून्य नहीं होना चाहिए)।
- उदाहरण:
3 / 4, -5 / 7, 0, 6 (क्योंकि 6 को 6 / 1 लिख सकते हैं)।
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### अवधारणा 2: धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ
- धनात्मक परिमेय संख्या: जब अंश और हर दोनों समान चिह्न के होते हैं (या तो दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)।
- उदाहरण:
3 / 5 या -3 / -5
- ऋणात्मक परिमेय संख्या: जब अंश और हर में से कोई एक ऋणात्मक होता है।
- उदाहरण:
-3 / 5 या 3 / -5
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### अवधारणा 3: मानक रूप (Standard Form)
एक परिमेय संख्या p / q मानक रूप में तब कहलाती है जब:
1. q एक धनात्मक पूर्णांक हो।
2. p और q का महत्तम समापवर्तक (HCF) केवल 1 हो (अर्थात वे सह-अभाज्य हों)।
- उदाहरण:
-4 / 8 का मानक रूप -1 / 2 है (अंश और हर दोनों को 4 से भाग देने पर)।
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### अवधारणा 4: परिमेय संख्याओं की तुलना करना
- दो धनात्मक परिमेय संख्याओं की तुलना करने के लिए उनके हरों को समान (LCM लेकर) बनाया जाता है।
- प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या शून्य से बड़ी होती है।
- प्रत्येक ऋणात्मक परिमेय संख्या शून्य से छوٹی होती है।
- प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या, ऋणात्मक परिमेय संख्या से बड़ी होती है।
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### अवधारणा 5: परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ (Operations)
#### 1. जोड़ (Addition)
- समान हर होने पर: सीधे अंशों को जोड़ें और हर वही रखें।
a / b + c / b = (a + c) / b- असामान हर होने पर: हर का LCM लेकर हर को समान बनाएं, फिर जोड़ें।
#### 2. घटाव (Subtraction)
- जोड़ने के नियम की तरह ही, हर को समान करके अंशों को घटाया जाता है।
a / b - c / b = (a - c) / b
#### 3. गुणा (Multiplication)
- अंश को अंश से गुणा करें और हर को हर से गुणा करें।
(a / b) (c / d) = (a c) / (b * d)
#### 4. भाग (Division)
- पहली परिमेय संख्या को दूसरी परिमेय संख्या के व्युत्क्रम (Reciprocal) से गुणा किया जाता है।
(a / b) ÷ (c / d) = (a / b) (d / c) = (a d) / (b * c)
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### अवधारणा 6: महत्वपूर्ण शब्दावली
- योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse): किसी परिमेय संख्या
a / b का योज्य प्रतिलोम -a / b होता है। (संख्या और उसके योज्य प्रतिलोम का योग 0 होता है)।
- उदाहरण:
3 / 4 का योज्य प्रतिलोम -3 / 4 है।
- गुणात्मक प्रतिलोम / व्युत्क्रम (Reciprocal): किसी परिमेय संख्या
a / b का गुणात्मक प्रतिलोम b / a होता है। (संख्या और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल 1 होता है)।
- उदाहरण:
2 / 3 का गुणात्मक प्रतिलोम 3 / 2 है।
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 परिमेय संख्याएँ
परिचय
प्राकृत संख्याएँ
पूर्ण संख्याएँ
पूर्णांक
परिमेय संख्याओं की आवश्यकता
परिमेय संख्या की परिभाषा
रूप $p/q$
$p$ और $q$ पूर्णांक हैं
$q \neq 0$
अंश और हर
धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ
धनात्मक परिमेय संख्या
अंश और हर दोनों के चिह्न समान
ऋणात्मक परिमेय संख्या
अंश या हर में से कोई एक ऋणात्मक
संख्या रेखा पर निरूपण
रेखा पर दर्शाना
धनात्मक दिशा (दाहिनी ओर)
ऋणात्मक दिशा (बाईं ओर)
मानक रूप (सरलतम रूप)
हर धनात्मक होना चाहिए
$p$ और $q$ का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 होना चाहिए
परिमेय संख्याओं की तुलना
हर समान होने पर
हर असमान होने पर (लघुत्तम समापवर्त्य विधि)
संख्या रेखा पर स्थिति द्वारा
परिमेय संख्याओं के बीच की संख्याएँ
दो दी गई संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ
हर समान करना
बीच की संख्या ज्ञात करना
परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ
योग (Addition)
समान हर वाले
असमान हर वाले
व्यकलन (Subtraction)
घटाना
गुणन (Multiplication)
अंश का अंश से गुणा
हर का हर से गुणा
भाग (Division)
व्युत्क्रम (Reciprocal) से गुणा
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): सभी धनात्मक परिमेय संख्याएँ संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर स्थित होती हैं।
उत्तर (Answer): समान हर के साथ अंशों को घटाएं: (7 - 5) / 12 = 2/12 = 1/6।
उत्तर (Answer): संख्या 0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक; यह 0/1 के रूप में दर्शाई जाने वाली एक परिमेय संख्या है।
उत्तर (Answer): अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (12) से विभाजित करें: 36 / 12 = 3 और -24 / 12 = -2। अतः मानक रूप -3/2 है।
उत्तर (Answer): -1/2, -3/4, -5/8, और -7/8 की तुलना करने पर: 8 का समान हर बनाने पर -4/8, -6/8, -5/8, और -7/8 प्राप्त होते हैं। ऋणात्मक संख्याओं में, सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाली संख्या सबसे छोटी होती है, जो कि -7/8 है।
उत्तर (Answer): शून्य को किसी भी शून्येतर परिमेय संख्या से विभाजित करने पर हमेशा 0 प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): 2/7 के अंश और हर दोनों को एक ही पूर्णांक से गुणा करें, जैसे 3। (2*3)/(7*3) = 6/21।
उत्तर (Answer): समान हर के साथ, अंशों को जोड़ें: (5 + (-3)) / 8 = 2/8 = 1/4।
उत्तर (Answer): किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं।
उत्तर (Answer): -5/4 को -1.25 लिखा जा सकता है। यह मान -1 और -2 पूर्णांकों के बीच स्थित है।
उत्तर (Answer): किसी परिमेय संख्या से भाग देने के लिए, उसके व्युत्क्रम से गुणा करें: (-4/5) * (-5/3) = 20/15 = 4/3।
उत्तर (Answer): अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ गुणा करें: (-3 * 4) / (5 * 7) = -12/35।
उत्तर (Answer): एक शून्येतर परिमेय संख्या p/q का व्युत्क्रम q/p होता है। इसलिए, -2/3 का व्युत्क्रम -3/2 है।
उत्तर (Answer): एक परिमेय संख्या p/q का योगात्मक प्रतिलोम -p/q होता है। इसलिए, -7/19 का योगात्मक प्रतिलोम -(-7/19) = 7/19 है।
उत्तर (Answer): चूंकि हर समान हैं, अंशों को सीधे जोड़ें: (-4 + 3) / 5 = -1/5।