एक चर वाले रैखिक समीकरण

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चर (Variable): वह राशि जिसका मान स्थिर नहीं होता और बदल सकता है। इसे प्रायः $x, y, z, a, b$ आदि अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
अचर (Constant): वह राशि जिसका मान निश्चित होता है। जैसे: $1, 2, -5, \frac{3}{4}$ आदि।
बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression): चरों और अचरों को योग, अंतर, गुणन तथा भाग के चिन्हों द्वारा मिलाने पर बना पद।
उदाहरण: $2x + 3, 5y - 7$
समीकरण (Equation): दो बीजीय व्यंजकों के बीच समता ($=$) का संबंध व्यक्त करने वाले कथन को समीकरण कहते हैं।
उदाहरण: $2x + 3 = 7$
एक चर वाला रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable): ऐसा समीकरण जिसमें केवल एक ही चर हो और उस चर की अधिकतम घात 1 हो।
मानक रूप (Standard Form): ax + b = 0 (जहाँ $a \neq 0$ तथा $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं।)

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किसी भी समीकरण के दो मुख्य पक्ष होते हैं:

1. बायाँ पक्ष (LHS - Left Hand Side): समता ($=$) चिन्ह के बायीं ओर का भाग।

2. दायाँ पक्ष (RHS - Right Hand Side): समता ($=$) चिन्ह के दाहिनी ओर का भाग।

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समीकरण को हल करते समय किसी पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाने पर उसका चिन्ह बदल जाता है:

| मूल पक्ष में चिन्ह | दूसरे पक्ष में जाने पर चिन्ह | उदाहरण |

| :--- | :--- | :--- |

| धनात्मक (+) | ऋणात्मक (-) | x + 3 = 7 $\rightarrow$ x = 7 - 3 |

| ऋणात्मक (-) | धनात्मक (+) | x - 4 = 2 $\rightarrow$ x = 2 + 4 |

| गुणा (×) | भाग (÷) | 3x = 12 $\rightarrow$ x = 12 / 3 |

| भाग (÷) | गुणा (×) | x / 5 = 2 $\rightarrow$ x = 2 × 5 |

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#### प्रकार 1: जब चर केवल एक ही पक्ष में हो

#### प्रकार 2: जब चर दोनों पक्षों में हो

#### प्रकार 3: वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)

यदि समीकरण इस रूप में हो: (ax + b) / (cx + d) = p / q

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1. अज्ञात राशि की पहचान: जो ज्ञात करना है, उसे x या कोई अन्य चर मानिए।

2. समीकरण बनाना: प्रश्न की शर्तों के अनुसार बीजीय व्यंजक बनाकर समीकरण का रूप दीजिए।

3. समीकरण हल करना: पक्षान्तरण नियमों का उपयोग करके चर का मान निकालिए।

4. उत्तर की जाँच: प्राप्त मान को मूल समीकरण में रखकर जाँच कीजिए कि LHS = RHS है या नहीं।

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समीकरण हल करने के बाद उत्तर की जाँच ज़रूर करें ($x$ का मान समीकरण में रखकर देखें कि LHS = RHS आता है या नहीं)।
ऋणात्मक चिन्हों (-) का पक्षान्तरण करते समय विशेष ध्यान रखें।
भिन्नों (Fractions) वाले पदों को हल करते समय हर (Denominator) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर समीकरण को सरल करें।