चतुर्भुजों को समझना

कक्षा 8 गणित — अध्याय 3: चतुर्भुजों को समझना

क्विक रिवीजन नोट्स एवं सूत्र शीट (MP बोर्ड)

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1. मूलभूत परिभाषाएं (Basic Definitions)

• वक्र (Curve): कागज़ से पेंसिल उठाए बिना बनाई गई आकृति।
• बहुभुज (Polygon): केवल रेखाखंडों से बनी सरल बंद आकृति को बहुभुज कहते हैं।
• उत्तल बहुभुज (Convex Polygon): वह बहुभुज जिसके सभी विकर्ण (Diagonals) आकृति के अंदर (आभ्यंतर) होते हैं और प्रत्येक अंतःकोण $180^\circ$ से कम होता है।
• अवतल बहुभुज (Concave Polygon): वह बहुभुज जिसका कम से कम एक विकर्ण आकृति के बाहर (बहिर्भाग) होता है या कम से कम एक अंतःकोण $180^\circ$ से अधिक होता है।
• सम बहुभुज (Regular Polygon): वह बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर (समभुज) और सभी कोण बराबर (समकोणिक) हों। (उदाहरण: समबाहु त्रिभुज, वर्ग)
• विषम बहुभुज (Irregular Polygon): वह बहुभुज जिसकी भुजाएँ या कोण बराबर न हों।

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2. बहुभुज के महत्वपूर्ण सूत्र (Key Formulas for Polygons)

यदि किसी बहुभुज की भुजाओं की संख्या = $n$ है, तो:

• विकर्णों की संख्या (Number of Diagonals):

$$\text{विकर्णों की संख्या} = \frac{n(n - 3)}{2}$$

• अंतःकोणों का योग (Sum of Interior Angles):

$$\text{अंतःकोणों का योग} = (n - 2) \times 180^\circ$$

(नोट: चतुर्भुज के चारों अंतःकोणों का योग $360^\circ$ होता है।)

• बाह्य कोणों का योग (Sum of Exterior Angles):

$$\text{किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग} = 360^\circ$$

#### सम बहुभुज के लिए विशेष सूत्र (For Regular Polygons):

• प्रत्येक बाह्य कोण (Each Exterior Angle):

$$\text{प्रत्येक बाह्य कोण} = \frac{360^\circ}{n}$$

• प्रत्येक अंतःकोण (Each Interior Angle):

$$\text{प्रत्येक अंतःकोण} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} = 180^\circ - \text{प्रत्येक बाह्य कोण}$$

• भुजाओं की संख्या ($n$):

$$n = \frac{360^\circ}{\text{प्रत्येक बाह्य कोण}}$$

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3. चतुर्भुज के प्रकार और उनके गुणधर्म (Types of Quadrilaterals & Properties)

#### 1. समलंब चतुर्भुज (Trapezium)

• सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समांतर होता है।

#### 2. पतंग (Kite)

• आसन्न (पास-पास वाली) भुजाओं के दो जोड़े बराबर होते हैं।
• विकर्ण एक-दूसरे पर लंब ($90^\circ$) होते हैं।
• एक विकर्ण दूसरे विकर्ण को समद्विभाजित करता है।

#### 3. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)

• सम्मुख भुजाएँ: बराबर और समांतर होती हैं ($AB = CD$ और $AB \parallel CD$)।
• सम्मुख कोण: बराबर होते हैं ($\angle A = \angle C$ तथा $\angle B = \angle D$)।
• आसन्न कोण: संपूरक होते हैं (योग $= 180^\circ$, जैसे $\angle A + \angle B = 180^\circ$)।
• विकर्ण: एक-दूसरे को समद्विभाजित (Bisect) करते हैं।

#### 4. समचतुर्भुज (Rhombus)

• समांतर चतुर्भुज के सभी गुण मौजूद होते हैं।
• सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
• विकर्ण: एक-दूसरे को समकोण ($90^\circ$) पर समद्विभाजित करते हैं।

#### 5. आयत (Rectangle)

• समांतर चतुर्भुज के सभी गुण मौजूद होते हैं।
• प्रत्येक कोण समकोण ($90^\circ$) होता है।
• विकर्ण: आपस में बराबर लंबाई के होते हैं।

#### 6. वर्ग (Square)

• यह एक समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और आयत तीनों का सम्मिलित रूप है।
• सभी भुजाएँ बराबर और प्रत्येक कोण $90^\circ$ होता है।
• विकर्ण: बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण ($90^\circ$) पर समद्विभाजित करते हैं।

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4. चतुर्भुजों की त्वरित तुलना तालिका (Quick Comparison Table)

| चतुर्भुज का प्रकार | सभी भुजाएँ बराबर? | सम्मुख कोण बराबर? | विकर्ण बराबर? | विकर्ण $90^\circ$ पर काटते हैं? | विकर्ण समद्विभाजित करते हैं? |

| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |

| समांतर चतुर्भुज | नहीं | हाँ | नहीं | नहीं | हाँ |

| समचतुर्भुज | हाँ | हाँ | नहीं | हाँ | हाँ |

| आयत | नहीं | हाँ | हाँ | नहीं | हाँ |

| वर्ग | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ | हाँ |

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5. परीक्षा उपयोगी महत्वपूर्ण बिंदु (Exam Tips)

1. ऋजुरेखीय युग्म / रेखीय युग्म: किसी भी शीर्ष पर, $\text{अंतःकोण} + \text{बाह्य कोण} = 180^\circ$ होता है।

2. त्रिभुज नियम: चतुर्भुज को एक विकर्ण खींचकर 2 त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, इसलिए चतुर्भुज के कोणों का योग $2 \times 180^\circ = 360^\circ$ होता है।

3. ध्यान दें: सभी वर्ग आयत और समचतुर्भुज होते हैं, लेकिन सभी आयत या समचतुर्भुज वर्ग नहीं होते।