बहुपद

कक्षा 9 गणित

#### अध्याय: बहुपद (Polynomials) - त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स / सूत्र संग्रह

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1. परिचय एवं मुख्य परिभाषाएँ (Introduction and Definitions)

• बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression): चरों (Variables) और अचरों (Constants) का संयोजन जो गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) से जुड़ा होता है।
• चर (Variable): वह राशि जिसका मान बदलता रहता है, इसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों जैसे x, y, z से दर्शाया जाता है।
• अचर (Constant): वह राशि जिसका मान निश्चित होता है, जैसे सभी संख्याएं (2, -5, 3/4 आदि)।
• एक चर वाला बहुपद (Polynomial in One Variable): ऐसा बीजीय व्यंजक जिसके प्रत्येक पद में चर की घात एक पूर्ण संख्या (Whole Number) होती है, एक चर वाला बहुपद कहलाता है।
• व्यापक रूप: p(x) = anx^n + a(n-1)x^(n-1) + ... + a1*x + a0
• जहाँ an, a(n-1), ... अचर हैं और a_n ≠ 0।

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2. बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)

#### (क) पदों के आधार पर (Based on Terms):

1. पदोपदी (Monomial): ऐसा बहुपद जिसमें केवल एक पद हो। (उदाहरण: 5x, 7)

2. द्विपद (Binomial): ऐसा बहुपद जिसमें ठीक दो पद हों। (उदाहरण: x + 5, 3y^2 - 4)

3. त्रिपद (Trinomial): ऐसा बहुपद जिसमें ठीक तीन पद हों। (उदाहरण: x^2 + 2x + 1)

#### (ख) घात के आधार पर (Based on Degree):

1. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): 1 घात वाला बहुपद।

• व्यापक रूप: ax + b (जहाँ a ≠ 0)

2. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): 2 घात वाला बहुपद।

• व्यापक रूप: ax^2 + bx + c (जहाँ a ≠ 0)

3. त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial): 3 घात वाला बहुपद।

• व्यापक रूप: ax^3 + bx^2 + cx + d (जहाँ a ≠ 0)

4. शून्य बहुपद (Zero Polynomial): सभी गुणांक शून्य होते हैं। p(x) = 0। (शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती है)।

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3. बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)

• किसी बहुपद में चर की उच्चतम घात (Highest Power) को उस बहुपद की घात कहते हैं।
• उदाहरण के लिए, बहुपद 5x^3 - 4x^2 + x - 2 में चर x की अधिकतम घात 3 है, अतः इस बहुपद की घात 3 है।

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4. बहुपद का मान (Value of a Polynomial)

• यदि p(x) एक चर x में बहुपद है, और x = a कोई वास्तविक संख्या है, तो x के स्थान पर a रखने पर जो प्राप्त होता है, वह p(x) का x = a पर मान कहलाता है, जिसे p(a) से दर्शाया जाता है।

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5. बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial)

• किसी बहुपद p(x) के लिए वह वास्तविक संख्या c जिसके लिए p(c) = 0 हो, बहुपद p(x) का एक शून्यक कहलाती है।
• महत्वपूर्ण बिंदु:
• एक रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है।
• शून्य बहुपद के अलावा किसी भी अचर बहुपद का कोई शून्यक नहीं होता है।
• किसी बहुपद के शून्यकों की संख्या उसकी घात से अधिक नहीं हो सकती।

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6. शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

• मान लीजिए p(x) एक या एक से अधिक घात वाला एक बहुपद है और मान लीजिए a कोई वास्तविक संख्या है। यदि p(x) को रैखिक बहुपद (x - a) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल p(a) होता है।
• अर्थात: शेषफल = p(a)

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7. गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

• यदि p(x) एक n ≥ 1 घात वाला बहुपद है और a कोई वास्तविक संख्या है, तो:

1. यदि p(a) = 0, तो (x - a) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड होता है।

2. यदि (x - a) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है, तो p(a) = 0 होता है।

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8. बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

बहुपदों के गुणन खंड और मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ अत्यंत महत्वपूर्ण हैं:

1. (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

2. (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2

3. x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)

4. (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab

5. (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx

6. (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2

7. (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y) = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2

8. x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)

9. x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

10. x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)

• विशेष स्थिति: यदि x + y + z = 0, तो x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz होता है।