यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

अध्याय: यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid's Geometry)

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महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)

1. बिंदु (Point): वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।

2. रेखा (Line): चौड़ाई रहित लंबाई होती है।

3. रेखा के सिरे (Ends of a Line): बिंदु होते हैं।

4. सीधी रेखा (Straight Line): ऐसी रेखा है जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सीधे स्थित होती है।

5. पृष्ठ (Surface): वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।

6. पृष्ठ के किनारे (Edges of a Surface): रेखाएँ होती हैं।

7. समतल पृष्ठ (Plane Surface): ऐसा पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ एकरूपता से स्थित होता है।

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यूक्लिड की अभिधारणाएँ (Euclid's Postulates)

1. अभिधारणा 1: एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

2. अभिधारणा 2: एक शांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

3. अभिधारणा 3: किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।

4. अभिधारणा 4: सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।

5. अभिधारणा 5: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं, जिधर योग दो समकोणों से कम होता है।

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यूक्लिड की अभिग्रहितें (Euclid's Axioms)

1. वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं। (a = c और b = c $\implies$ a = b)

2. यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं। (a = b $\implies$ a + c = b + c)

3. यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष भी बराबर होते हैं। (a = b $\implies$ a - c = b - c)

4. वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।

5. पूर्ण, अपने भाग से बड़ा होता है।

6. एक ही वस्तु के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं।

7. एक ही वस्तु के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

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महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points for Quick Revision)

यूक्लिड को "ज्यामिति का जनक" (Father of Geometry) कहा जाता है। उन्होंने मिस्र के एलेक्जेंड्रिया में गणित के एक स्कूल की स्थापना की थी।
यूक्लिड ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'द एलिमेंट्स' (The Elements) में गणित के सभी ज्ञान को 13 अध्यायों में व्यवस्थित किया, जिन्हें 'पुस्तकों' कहा जाता है।
एक दिए गए बिंदु से होकर अनगिनत रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
दो भिन्न बिंदुओं से होकर केवल और केवल एक ही अद्वितीय (Unique) रेखा खींची जा सकती है।
दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, उससे अधिक पर नहीं।

📍 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

Overview

यूक्लिड का परिचय और इतिहास यूक्लिड एक ग्रीक गणितज्ञ थे इन्हें "ज्यामिति का जनक" कहा जाता है इनकी प्रसिद्ध पुस्तक का नाम 'एलीमेंट्स' (Elements) है 'एलीमेंट्स' पुस्तक तेरह (13) अध्यायों में विभाजित है मूल अवधारणाएं बिंदु (Point) जिसकी कोई भाग नहीं होता रेखा (Line) चौड़ाईहीन लंबाई रेखा के अंत बिंदु (Ends of a line) बिंदु होते हैं सीधी रेखा (Straight Line) ऐसी रेखा जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सीधी रहती है यूक्लिड की परिभाषाएँ तल (Surface) जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है समतल तल (Plane Surface) ऐसा तल जो उस पर स्थित सीधी रेखाओं के साथ सीधे रूप में रहता है यूक्लिड की अभिगृहीतें (Axioms) वे कल्पनाएँ जो गणित के सभी क्षेत्रों में सत्य मानी जाती हैं (केवल ज्यामिति तक सीमित नहीं) 1. वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं 2. यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं 3. यदि बराबरों में से बराबर घटाए जाएँ, तो शेष भी बराबर होते हैं 4. वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं 5. पूर्ण, भाग से बड़ा होता है 6. एक ही वस्तु के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं 7. एक ही वस्तु के आधे परस्पर बराबर होते हैं यूक्लिड की अभिधारणाएँ (Postulates) विशेष रूप से ज्यामिति से संबंधित कल्पनाएँ अभिधारणा 1 एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है अभिधारणा 2 एक शांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है अभिधारणा 3 किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है अभिधारणा 4 सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं अभिधारणा 5 (प्लेफेयर का गृहीत) यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं, जिधर योग दो समकोणों से कम होता है समतुल्य रूपांतर और प्रमेयं अभिगृहीतों और अभिधारणाओं का प्रयोग गणितीय कथनों (प्रमेयों) को सिद्ध करने में उपयोग उदाहरण: दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ नहीं हो सकता