Chapter Chai • Board Revision Guide
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त्रिभुज

Subject: गणित | Class: Class 9 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)
अध्याय: त्रिभुज (Triangles) - त्वरित रिवीजन नोट्स

कक्षा: ९वीं

विषय: गणित


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महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)

1. त्रिभुज (Triangle): तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनी बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं। इसमें तीन भुजाएँ, तीन कोण और तीन शीर्ष होते हैं।

2. सर्वांगसम आकृतियाँ (Congruent Figures): वे आकृतियाँ जिनके आकार (Shape) और माप (Size) बिल्कुल समान होते हैं, सर्वांगसम आकृतियाँ कहलाती हैं।

3. त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज के सभी अंग (भुजाएँ और कोण) दूसरे त्रिभुज के संगत अंगों के बराबर हों।


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त्रिभुजों की सर्वांगसमता के नियम (Criteria for Congruence of Triangles)

#### १. SAS सर्वांगसमता नियम (Side-Angle-Side)

यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।


#### २. ASA सर्वांगसमता नियम (Angle-Side-Angle)

यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनके बीच की भुजा, दूसरे त्रिभुज के दो कोण और उनके बीच की भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।


#### ३. AAS सर्वांगसमता नियम (Angle-Angle-Side)

यदि एक त्रिभुज के कोई भी दो कोण और एक संगत भुजा, दूसरे त्रिभुज के दो कोण और संगत भुजा के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।


#### ४. SSS सर्वांगसमता नियम (Side-Side-Side)

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ, दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।


#### ५. RHS सर्वांगसमता नियम (Right angle-Hypotenuse-Side)

यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा, दूसरे त्रिभुज के कर्ण और संगत भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।


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त्रिभुजों के गुणधर्म (Properties of Triangles)

1. समद्विबाहु त्रिभुज की प्रमेय (Isosceles Triangle Theorem):


2. त्रिभुज की भुजाओं और कोणों में असमानता (Inequalities in a Triangle):

माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 त्रिभुज (Triangles)
Overview
त्रिभुज का परिचय परिभाषा (तीन भुजाओं से बंद आकृति) शीर्ष, भुजाएँ और कोण त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles) अर्थ (आकार और माप में समान) सर्वांगसमता के प्रतिबंध SAS नियम (भुजा-कोण-भुजा) ASA नियम (कोण-भुजा-कोण) AAS नियम (कोण-कोण-भुजा) SSS नियम (भुजा-भुजा-भुजा) RHS नियम (समकोण-कर्ण-भुजा) त्रिभुजों के गुण (Properties of Triangles) समद्विबाहु त्रिभुज के गुण बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं त्रिभुज की असमानताओं से संबंधित प्रमेय बड़ी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लंब आधार को _____ करता है। 1 Marks
उत्तर (Answer): समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से उसके आधार पर डाला गया लंब आधार को समद्विभाजित करता है और शीर्ष कोण को भी समद्विभाजित करता है।
Q2. यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार को दोनों ओर बढ़ाया जाए, तो इस प्रकार बने बहिष्कोण होते हैं: 1 Marks
उत्तर (Answer): एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार कोण बराबर होते हैं। आधार को बढ़ाने पर बनने वाले बहिष्कोण आधार कोणों के संपूरक होते हैं, और चूँकि आधार कोण बराबर हैं, इसलिए बहिष्कोण भी बराबर होते हैं।
Q3. $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में, यदि $AB = PQ, BC = QR$ और $\angle B = \angle Q$ है, तो दोनों त्रिभुज किसके द्वारा सर्वांगसम हैं? 1 Marks
उत्तर (Answer): चूँकि दो भुजाएँ ($AB, BC$ और $PQ, QR$) और उनके बीच का अंतर्गत कोण ($\angle B$ और $\angle Q$) बराबर हैं, त्रिभुज SAS प्रतिबंध द्वारा सर्वांगसम हैं।
Q4. भुजा की लंबाई के निम्नलिखित में से कौन सा समुच्चय एक त्रिभुज बना सकता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): त्रिभुज असमिका प्रमेय का उपयोग करते हुए: दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी भुजा से बड़ा होना चाहिए। विकल्पों के लिए: $3+4=7 > 5$ सही है। अतः $3, 4, 5$ एक त्रिभुज बनाते हैं।
Q5. यदि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है, तो $\angle A : \angle B : \angle C$ है: 1 Marks
उत्तर (Answer): एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों कोण $60^\circ$ के बराबर होते हैं। इसलिए, कोणों का अनुपात $60^\circ : 60^\circ : 60^\circ = 1 : 1 : 1$ होता है।
Q6. $\triangle PQR$ में, यदि $\angle P = \angle Q$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है? 1 Marks
उत्तर (Answer): त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। $\angle P$ के सामने की भुजा $QR$ है और $\angle Q$ के सामने की भुजा $PR$ है। अतः $PR = QR$ है।
Q7. यदि किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से डाला गया लंब सामने की भुजा को समद्विभाजित करता है, तो त्रिभुज है: 1 Marks
उत्तर (Answer): यदि एक शीर्षलंब एक माध्यिका भी है (सामने की भुजा को समद्विभाजित करता है), तो त्रिभुज समद्विबाहु होता है।
Q8. SAS प्रतिबंध द्वारा दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए निम्नलिखित में से कौन सी स्थिति पर्याप्त है? 1 Marks
उत्तर (Answer): SAS (भुजा-कोण-भुजा) प्रतिबंध के लिए एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके *अंतर्गत* कोण का दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और अंतर्गत कोण के बराबर होना आवश्यक है।
Q9. यदि $\triangle ABC$ में, $\angle A = 60^\circ$ और $\angle B = 40^\circ$ है, तो त्रिभुज की कौन सी भुजा सबसे लंबी है? 1 Marks
उत्तर (Answer): पहले $\angle C = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 80^\circ$ ज्ञात कीजिए। चूकि $\angle C$ सबसे बड़ा कोण है, इसके सामने की भुजा $AB$ सबसे लंबी भुजा है।
Q10. यदि $\triangle ABC \cong \triangle FDE$ है और $\triangle ABC, \triangle DEF$ के सर्वांगसम नहीं है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है? 1 Marks
उत्तर (Answer): सर्वांगसमता कड़ाई से शीर्ष संगतता पर निर्भर करती है। $\triangle ABC \cong \triangle FDE$ का अर्थ है $BC = DE, AC = FE, AB = FD$। अतः $BC = EF$ सामान्य रूप से सत्य नहीं है जब तक कि त्रिभुज एक विशिष्ट तरीके से समद्विबाहु न हो।
Q11. एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से _____ होता है। 1 Marks
उत्तर (Answer): त्रिभुज असमिका प्रमेय कहती है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से बड़ा होता है।
Q12. एक त्रिभुज में, लंबी भुजा के सामने का कोण होता है: 1 Marks
उत्तर (Answer): एक मौलिक प्रमेय यह बताती है कि किसी भी त्रिभुज में, लंबी भुजा के सम्मुख कोण छोटी भुजा के सम्मुख कोण से बड़ा होता है।
Q13. $\triangle ABC$ में, यदि $AB = AC$ और $\angle B = 50^\circ$ है, तो $\angle C$ है: 1 Marks
उत्तर (Answer): चूँकि $AB = AC$ है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर हैं, जिसका अर्थ है $\angle C = \angle B$ है। दिया गया है $\angle B = 50^\circ$, इसलिए $\angle C = 50^\circ$ है।
Q14. यदि $\triangle PQR \cong \triangle EFD$ है, तो $ED$ किसके बराबर है? 1 Marks
उत्तर (Answer): सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों (CPCTC) द्वारा, $\triangle EFD$ में पहले दो अक्षर $ED$, $\triangle PQR$ के पहले दो अक्षरों $PQ$ के संगत हैं। इसलिए, $ED = PQ$ है।
Q15. एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है: 1 Marks
उत्तर (Answer): एक समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं और परिणामस्वरूप तीनों कोण भी बराबर होते हैं। चूकि कोणों का योग $180^\circ$ है, इसलिए प्रत्येक कोण $180^\circ / 3 = 60^\circ$ होता है।
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