वृत्त

अध्याय: वृत्त (Circles) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स (Quick Revision Notes)

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1. वृत्त और से संबंधित महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)

• वृत्त (Circle): एक तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह जो तल के एक निश्चित बिंदु से एक अचर दूरी पर होते हैं, वृत्त कहलाता है।
• केंद्र (Centre): वह निश्चित बिंदु जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं, वृत्त का केंद्र कहलाता है।
• त्रिज्या (Radius): वृत्त के केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की त्रिज्या (r) कहते हैं।
• व्यास (Diameter): वह रेखाखंड जो वृत्त के केंद्र से होकर जाता है और जिसके दोनों सिरे वृत्त पर होते हैं, व्यास (d) कहलाता है। व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: d = 2r।
• जीव (Chord): वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की जीव कहलाता है। सबसे बड़ी जीव वृत्त का व्यास होती है।
• चाप (Arc): वृत्त के परिमाप (परिधि) का एक टुकड़ा चाप कहलाता है।
• परिधि (Circumference): वृत्त की कुल लंबाई को उसकी परिधि कहते हैं। (2πr)
• वृत्तखंड (Segment): एक जीव और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र वृत्तखंड कहलाता है। यह दो प्रकार का होता है - लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड।
• त्रिज्यखंड (Sector): दो त्रिज्याओं और उनके संगत चाप के बीच का क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है।

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2. महत्वपूर्ण प्रमेय और गुण (Important Theorems & Properties)

#### प्रमेय 1: जीव द्वारा केंद्र पर कोण

• कथन: वृत्त की समान जीवेंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
• प्रतीक रूप में: यदि जीव AB = CD, तो कोण AOB = कोण COD।

#### प्रमेय 2: केंद्र से जीव पर लंब

• कथन: वृत्त के केंद्र से किसी जीव पर डाला गया लंब जीव को समद्विभाजित करता है।
• निष्कर्ष: यदि OM लंब है AB पर, तो AM = MB।

#### प्रमेय 3: समान जीवाओं की केंद्र से दूरी

• कथन: एक वृत्त की समान जीवेंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

#### प्रमेय 4: चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण

• कथन: किसी वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
• सूत्र: कोण AOB = 2 * कोण ACB (जहाँ O केंद्र है और C परिधि पर बिंदु है)।

#### प्रमेय 5: एक ही वृत्तखंड के कोण

• कथन: एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
• सूत्र: कोण ACB = कोण ADB

#### प्रमेय 6: अर्धवृत्त का कोण

• कथन: अर्धवृत्त का कोण समकोण (90°) होता है।
• सूत्र: कोण ACB = 90° (यदि AB व्यास है)।

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3. चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral)

• परिभाषा: यदि किसी चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों, तो वह चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है।
• महत्वपूर्ण गुण:
• चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग 180° (संपूरक) होता है।
• सूत्र: कोण A + कोण C = 180° और कोण B + कोण D = 180°
• यदि चक्रीय चतुर्भुज की किसी भुजा को बढ़ाया जाए, तो बहिष्कोण उसके आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होता है।

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4. मुख्य सूत्र (Key Formulas)

• व्यास (d) = 2 × त्रिज्या (r)
• त्रिज्या (r) = व्यास (d) / 2
• वृत्त की परिधि = 2πr
• वृत्त का क्षेत्रफल = πr^2