ठोसों के यांत्रिक गुण

कक्षा 11 भौतिक विज्ञान: त्वरित रिवीजन एवं सूत्र शीट

अध्याय: ठोसों के यांत्रिक गुण (Mechanical Properties of Solids)

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1. मूलभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)

• विरूपक बल (Deforming Force): वह बाह्य बल जो किसी वस्तु के आकार या आकृति (या दोनों) में परिवर्तन कर देता है।
• प्रत्यास्थता (Elasticity): पदार्थ का वह गुण जिसके कारण वह विरूपक बल हटा लेने पर अपनी प्रारंभिक आकृति और आकार को पुनः प्राप्त कर लेता है। (उदाहरण: इस्पात, रबर)
• प्लास्टिसिटी / सुघट्यता (Plasticity): पदार्थ का वह गुण जिसके कारण वह विरूपक बल हटा लेने पर भी अपनी प्रारंभिक अवस्था में नहीं लौटता तथा स्थायी रूप से विरूपित हो जाता है। (उदाहरण: मिट्टी, मोम)

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2. प्रतिबल (Stress)

वस्तु के एकांक क्षेत्रफल पर कार्य करने वाले आंतरिक पुनर्नयन बल (Restoring Force) को प्रतिबल कहते हैं।

$$\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल (F)}}{\text{क्षेत्रफल (A)}}$$

• SI मात्रक: $\text{N/m}^2$ या पास्कल ($\text{Pa}$)
• विमीय सूत्र: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$

#### प्रतिबल के प्रकार:

1. अनुदैर्ध्य प्रतिबल (Longitudinal Stress): जब बल लंबाई के अनुदिश कार्य करता है।

• तनन प्रतिबल (Tensile Stress): लंबाई बढ़ाने वाला बल।
• संपीडन प्रतिबल (Compressive Stress): लंबाई घटाने वाला बल।

2. आयतन / अभिलम्ब प्रतिबल (Volumetric / Normal Stress): जब बल सतह के लंबवत समान रूप से लगता है (आयतन में परिवर्तन)।

3. अपरूपण / कर्तन प्रतिबल (Shearing Stress): जब बल सतह के स्पर्शरेखीय (Tangential) लगता है (आकृति में परिवर्तन)।

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3. विकृति (Strain)

विमानों में होने वाले आपेक्षिक परिवर्तन को विकृति कहते हैं। यह एक विमाहीन और मात्रकहीन राशि है।

$$\text{विकृति} = \frac{\text{बीमा में परिवर्तन}}{\text{प्रारंभिक बीमा}}$$

#### विकृति के प्रकार:

1. अनुदैर्ध्य विकृति (Longitudinal Strain):

$$\text{विकृति} = \frac{\Delta L}{L}$$

2. आयतन विकृति (Volumetric Strain):

$$\text{विकृति} = \frac{\Delta V}{V}$$

3. अपरूपण विकृति (Shear Strain):

$$\theta = \frac{\Delta x}{L}$$

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4. हुक का नियम (Hooke's Law)

प्रत्यास्थता की सीमा के अंदर, प्रतिबल उसमें उत्पन्न विकृति के समानुपाती होता है।

$$\text{प्रतिबल} \propto \text{विकृति}$$

$$\frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = E \quad (\text{प्रत्यास्थता गुणांक / Modulus of Elasticity})$$

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5. प्रत्यास्थता गुणांक के प्रकार (Moduli of Elasticity)

#### A. यंग प्रत्यास्थता गुणांक (Young's Modulus - $Y$)

केवल ठोसों के लिए लागू (लंबाई में परिवर्तन)।

$$Y = \frac{\text{अनुदैर्ध्य प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = \frac{F / A}{\Delta L / L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$$

यदि तार की त्रिज्या $r$ हो और $M$ द्रव्यमान लटकाया जाए:

$$Y = \frac{M \cdot g \cdot L}{\pi r^2 \cdot \Delta L}$$

#### B. आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus - $B$ या $K$)

ठोस, द्रव और गैस तीनों के लिए लागू।

$$B = -\frac{\text{आयतन प्रतिबल}}{\text{आयतन विकृति}} = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V} = -\frac{V \cdot \Delta P}{\Delta V}$$

(ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि दाब बढ़ाने पर आयतन घटता है।)

• संपीड्यता (Compressibility): आयतन प्रत्यास्थता गुणांक के व्युत्क्रम को संपीड्यता कहते हैं।

$$k = \frac{1}{B} = -\frac{\Delta V}{V \cdot \Delta P}$$

#### C. दृढ़ता गुणांक / अपरूपण गुणांक (Shear Modulus - $\eta$)

केवल ठोसों के लिए लागू (आकृति में परिवर्तन)।

$$\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}} = \frac{F / A}{\theta} = \frac{F}{A \cdot \theta}$$

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6. पॉयसन अनुपात (Poisson's Ratio - $\sigma$)

जब किसी तार को खींचा जाता है, तो उसकी लंबाई बढ़ती है लेकिन व्यास घटता है।

$$\text{पाश्विक विकृति (Lateral Strain)} = -\frac{\Delta d}{d}$$

$$\text{अनुदैर्ध्य विकृति (Longitudinal Strain)} = \frac{\Delta L}{L}$$

$$\sigma = \frac{\text{पाश्विक विकृति}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}} = -\frac{\Delta d / d}{\Delta L / L}$$

• सैद्धांतिक सीमा: $-1$ से $0.5$
• व्यावहारिक सीमा: $0$ से $0.5$ (सामान्यतः $0.2$ से $0.4$)
• यह एक विमाहीन राशि है।

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7. प्रतिबल-विकृति वक्र (Stress-Strain Curve)

• सहानुपातिक सीमा (Proportional Limit - A): वह बिंदु जहाँ तक हुक का नियम पूर्णतः लागू होता है।
• प्रत्यास्थ सीमा / पराभव बिंदु (Yield Point - B): वह सीमा जहाँ तक विरूपक बल हटाने पर वस्तु अपनी मूल अवस्था में लौट आती है।
• परम तनन सामर्थ्य (Ultimate Tensile Strength - D): वह अधिकतम प्रतिबल जो वस्तु बिना टूटे सहन कर सकती है।
• त्रोटन / भंजन बिंदु (Fracture Point - E): वह बिंदु जिस पर तार टूट जाता है।

> विशेष नोट:

> * यदि D और E पास-पास हों $\rightarrow$ भंगुर पदार्थ (Brittle) (जैसे: कांच)।

> * यदि D और E दूर-दूर हों $\rightarrow$ तन्य/तपनीय पदार्थ (Ductile) (जैसे: तांबा, लोहा)।

> * रबर और धमनी के ऊतक $\rightarrow$ प्रत्यास्थ बहुलक (Elastomers) (इनके लिए हुक का नियम लागू नहीं होता)।

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8. खिंचे हुए तार में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (Elastic Potential Energy)

किसी तार को खींचने में किया गया कार्य उसमें स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।

• कुल कार्य / संचित ऊर्जा ($U$):

$$U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{लंबाई में वृद्धि} = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L$$

• प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व ($u$) (एकांक आयतन की ऊर्जा):

$$u = \frac{U}{\text{आयतन}} = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$$

$$u = \frac{1}{2} \cdot Y \cdot (\text{विकृति})^2$$

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9. तापीय प्रतिबल (Thermal Stress)

यदि किसी छड़ के दोनों सिरों को दृढ़ आधारों से बाँधकर उसका ताप बढ़ाया जाए:

• लंबाई में तापीय वृद्धि: $\Delta L = L \cdot \alpha \cdot \Delta T$ (जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है)
• तापीय विकृति: $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T$
• तापीय प्रतिबल: $\text{Stress} = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$
• उत्पन्न तापीय बल: $F = A \cdot Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$

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10. परीक्षा उपयोगी महत्वपूर्ण बिंदु (Quick Exam Tips)

1. इस्पात (Steel) रबर की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ होता है: क्योंकि समान विकृति उत्पन्न करने के लिए इस्पात में रबर की तुलना में अधिक बल लगाना पड़ता है ($Y{\text{steel}} > Y{\text{rubber}}$)।

2. पुलों का निर्माण: पुलों के गर्डर 'I' आकार के बनाए जाते हैं ताकि कम भार में अधिक सामर्थ्य (नमन प्रतिबल से सुरक्षा) मिले।

3. पृथ्वी पर किसी पर्वत की अधिकतम ऊंचाई: लगभग $10 \text{ km}$ हो सकती है ($h \approx \frac{S}{\rho g}$, जहाँ $S$ चट्टान का भंजन प्रतिबल है)।

4. खोखला बेलन (Hollow Cylinder): समान द्रव्यमान और लंबाई के ठोस बेलन की तुलना में ऐंठन के लिए अधिक मजबूत होता है।