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अणुगति सिद्धांत

Subject: भौतिक विज्ञान | Class: Class 11 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)

कक्षा 11 भौतिक विज्ञान (Physics)

अध्याय: अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory) - त्वरित रिवीजन एवं सूत्र शीट


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1. आदर्श गैस एवं गैस के नियम (Ideal Gas & Gas Laws)

PV = nRT या PV = N k_B T


P = P1 + P2 + P3 + ...


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2. अणुगति सिद्धांत की मुख्य अवधारणाएँ (Postulates of Kinetic Theory)

1. गैस अत्यधिक सूक्ष्म एवं समरूप कणों (अणुओं) से मिलकर बनी होती है।

2. अणुओं के बीच कोई आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं लगता (आदर्श गैस के लिए)।

3. अणुओं द्वारा घेरा गया कुल आयतन, गैस के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।

4. अणुओं की टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ (Elastic) होती हैं।


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3. आदर्श गैस का दाब (Pressure of an Ideal Gas)

P = (1/3) ρ (v_rms)^2

या P = (1/3) (m N / V) * (v_rms)^2


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4. अणु की गतिज ऊर्जा तथा ताप (Kinetic Energy & Temperature)

E = (3/2) R T


Eavg = (3/2) kB T

(गतिज ऊर्जा केवल परम ताप T पर निर्भर करती है, गैस की प्रकृति पर नहीं।)


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5. अणुओं की विभिन्न चालें (Molecular Speeds)

1. वर्ग मध्य मूल चाल (RMS Speed - v_rms):

vrms = √(3RT / M) = √(3kB T / m) = √(3P / ρ)


2. औसत चाल (Average Speed - v_avg):

vavg = √(8RT / πM) = √(8kB T / πm)


3. अधिकतम संभाव्य चाल (Most Probable Speed - v_mp):

vmp = √(2RT / M) = √(2kB T / m)


vrms > vavg > v_mp

vmp : vavg : v_rms = 1 : 1.128 : 1.225


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6. स्वातंत्र्य कोटि (Degrees of Freedom - f)

किसी अणु की स्वतंत्रता की कोटि उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या है जिनसे वह गति कर सकता है या ऊर्जा धारण कर सकता है।


f = 3 (केवल स्थानांतरीय गति)




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7. ऊर्जा के समविभाजन का नियम (Law of Equipartition of Energy)

तापीय साम्यावस्था में, किसी निकाय की प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि (Degree of Freedom) के साथ सम्बद्ध औसत गतिज ऊर्जा (1/2) k_B T होती है।


Etotal = (f / 2) kB T


U = (f / 2) R T


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8. मोलर विशिष्ट ऊष्मा तथा निष्पत्ति (Molar Specific Heats)

C_v = (f / 2) R


Cp = Cv + R = ((f / 2) + 1) R


Cp - Cv = R


γ = Cp / Cv = 1 + (2 / f)


| गैस का प्रकार | f | Cv | Cp | γ = Cp / Cv |

| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |

| एकपरमाणुक (Monatomic) | 3 | (3/2) R | (5/2) R | 5/3 ≈ 1.67 |

| द्विपरमाणुक (Diatomic) | 5 | (5/2) R | (7/2) R | 7/5 = 1.40 |

| बहुपरमाणुक (Polyatomic) | 6 | 3 R | 4 R | 4/3 ≈ 1.33 |


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9. माध्य मुक्त पथ (Mean Free Path - λ)

दो क्रमागत टक्करों के बीच गैस के अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ कहते हैं।


λ = 1 / (√2 n π * d^2)


λ = (k_B T) / (√2 π d^2 P)


माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory)
Overview
1. आदर्श गैस एवं उसके नियम बॉउल का नियम: $P \propto \frac{1}{V}$ (स्थिर ताप $T$ पर) चार्ल्स का नियम: $V \propto T$ (स्थिर दाब $P$ पर) गे-लुसाक का नियम: $P \propto T$ (स्थिर आयतन $V$ पर) एवोगेड्रो का नियम: समान $P, V, T$ पर अणुओं की संख्या समान आदर्श गैस समीकरण: $PV = nRT$ $P$ = दाब, $V$ = आयतन, $n$ = मोल संख्या, $R$ = गैस नियतांक, $T$ = परम ताप 2. अणुगति सिद्धांत की मुख्य परिकल्पनाएँ गैस सूक्ष्म, कठोर एवं गोलाकार कणों (अणुओं) से बनी है। अणु निरंतर यादृच्छिक (Random) गति करते हैं। अणुओं का आयतन बर्तन के कुल आयतन की तुलना में नगण्य है। अणुओं के मध्य कोई अंतर-आणविक बल नहीं लगता। अणुओं की टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ (Elastic) होती हैं। दो टक्करों के बीच संघट्ट काल नगण्य होता है। 3. गैस का दाब एवं ताप दाब का व्यंजक: $P = \frac{1}{3} \rho v{rms}^2 = \frac{1}{3} \frac{m N}{V} v{rms}^2$ गतिज ऊर्जा एवं ताप: $E = \frac{3}{2} k_B T$ गतिज ऊर्जा केवल परम ताप ($T$) पर निर्भर करती है। $kB$ = बोल्ट्ज़मान नियतांक ($kB = \frac{R}{N_A}$) 4. आणविक चालें (Molecular Speeds) वर्ग माध्य मूल चाल ($v_{rms}$): $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ औसत चाल ($v_{avg}$): $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ अधिकतम संभाव्य चाल ($v_{mp}$): $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ संबंध: $v{rms} > v{avg} > v_{mp}$ 5. स्वातंत्र्य कोटि (Degrees of Freedom - f) परिभाषा: गति की स्वतंत्र दिशाओं की संख्या। एकपरमाणुक गैस (He, Ar): $f = 3$ (केवल स्थानांतरी गति) द्विपरमाणुक गैस ($O2, N2$): $f = 5$ (3 स्थानांतरी + 2 घूर्णी) बहुपरमाणुक गैस ($NH_3$): $f = 6$ (3 स्थानांतरी + 3 घूर्णी) 6. ऊर्जा का समविभाजन नियम प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि से संबद्ध औसत गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2} k_B T$ कुल आंतरिक ऊर्जा ($U$): $U = \frac{f}{2} n R T$ गैस की विशिष्ट ऊष्मा: $C_v = \frac{f}{2} R$ $Cp = Cv + R = \left(\frac{f}{2} + 1\right) R$ विशिष्ट ऊष्मा अनुपात $\gamma = \frac{Cp}{Cv} = 1 + \frac{2}{f}$ 7. माध्य मुक्त पथ (Mean Free Path - $\lambda$) परिभाषा: दो क्रमिक टक्करों के बीच तय की गई औसत दूरी। सूत्र: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ $n$ = प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या $d$ = अणु का व्यास निर्भरता: घनत्व ($n$) बढ़ने पर घटता है। ताप ($T$) बढ़ने पर बढ़ता है।
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. गैस अणुओं का माध्य मुक्त पथ ($\lambda$) निम्नलिखित में से किस मानक के व्युत्क्रमानुपाती होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ होता है। अतः $\lambda$ अणुओं के **संख्या घनत्व ($n$)** के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
Q2. गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, गैस अणुओं के बीच और बर्तन की दीवारों के साथ होने वाली टक्करें मानी जाती हैं: 1 Marks
उत्तर (Answer): अणुगति सिद्धांत की प्रमुख अभिकल्पना यह है कि अणुओं के मध्य तथा बर्तन की दीवारों के साथ संघट्ट (टक्करें) **पूर्णतः प्रत्यास्थ** होते हैं, जिससे कुल गतिज ऊर्जा और संवेग संरक्षित रहते हैं।
Q3. यदि किसी गैस का परम ताप चार गुना (4 गुना) कर दिया जाए, तो उसकी rms चाल कितनी हो जाएगी? 1 Marks
उत्तर (Answer): चूँकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, यदि ताप $4T$ हो जाता है, तो नई चाल $v'_{rms} = \sqrt{4T} \propto 2 \sqrt{T} = 2 v_{rms}$ होगी। अतः rms चाल **दुगुनी** हो जाएगी।
Q4. 1 कंपन विधा (कुल 7 स्वतंत्रता कोटियाँ) वाली एक अदृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = C_p / C_v$ का मान कितना होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): स्वतंत्रता की कोटि $f = 7$ के लिए, रूद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ होता है।
Q5. घनत्व $\rho$ और वर्ग माध्य मूल चाल $v_{rms}$ वाली आदर्श गैस द्वारा आरोपित दाब $P$ होता है: 1 Marks
उत्तर (Answer): गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, गैस द्वारा आरोपित दाब का सूत्र $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ होता है।
Q6. बोल्ट्ज़मान नियतांक ($k_B$), सार्वत्रिक गैस नियतांक ($R$) और एवोगाद्रो संख्या ($N_A$) के बीच सही संबंध है: 1 Marks
उत्तर (Answer): बोल्ट्ज़मान नियतांक $k_B$ प्रति अणु सार्वत्रिक गैस नियतांक के रूप में परिभाषित होता है, अर्थात $k_B = \frac{R}{N_A}$।
Q7. डाल्टन का आंशिक दाब का नियम सख्ती से केवल ऐसे गैसों के मिश्रण पर लागू होता है जो: 1 Marks
उत्तर (Answer): डाल्टन के आंशिक दाब के नियम की यह शर्त है कि मिश्रण में मौजूद गैसें आपस में कोई रासायनिक अभिक्रिया नहीं करती हैं (अक्रियाशील होती हैं)।
Q8. गैस अणुओं की सर्वाधिक संभाव्य चाल ($v_{mp}$), औसत चाल ($v_{avg}$), और वर्ग माध्य मूल चाल ($v_{rms}$) के बीच सही संबंध कौन सा है? 1 Marks
उत्तर (Answer): इन चालों के व्यंजक इस प्रकार हैं: - $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \approx 1.414 \sqrt{\frac{RT}{M}}$ - $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \approx 1.596 \sqrt{\frac{RT}{M}}$ - $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \approx 1.732 \sqrt{\frac{RT}{M}}$ \nअतः सही क्रम $v_{mp} < v_{avg} < v_{rms}$ है।
Q9. ताप $T$ पर एकपरमाणुक आदर्श गैस के एक मोल की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है? 1 Marks
उत्तर (Answer): 3 स्वतंत्रता कोटियों वाली एकपरमाणुक गैस के लिए प्रति मोल कुल गतिज ऊर्जा $E = 3 \times \left(\frac{1}{2} RT\right) = \frac{3}{2} RT$ होती है।
Q10. ऊर्जा के समविभाजन नियम के अनुसार, परम ताप $T$ पर प्रत्येक अणु की प्रति स्वतंत्रता कोटि से संबद्ध औसत गतिज ऊर्जा होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): **ऊर्जा के समविभाजन नियम** के अनुसार, कुल गतिज ऊर्जा सभी स्वतंत्रता की कोटियों में समान रूप से विभाजित होती है, तथा प्रत्येक अणु की प्रति स्वतंत्रता कोटि ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है।
Q11. सामान्य ताप पर एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस अणु (जैसे $O_2$ या $N_2$) में स्वतंत्रता की कितनी कोटियाँ होती हैं? 1 Marks
उत्तर (Answer): एक दृढ़ द्विपरमाणुक अणु में 3 स्थानांतरीय और 2 घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, जिससे कुल **5 स्वतंत्रता की कोटियाँ** बनती हैं।
Q12. एकपरमाणुक गैस (जैसे हीलियम या ऑर्गन) के एक अणु के लिए स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या कितनी होती है? 1 Marks
उत्तर (Answer): एकपरमाणुक गैस का अणु त्रिविम में तीन लंबवत अक्षों ($x, y, z$) के अनुदिश स्वतंत्र रूप से गति कर सकता है, इसलिए इसकी **3 स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटियाँ** होती हैं।
Q13. निम्नलिखित में से $n$ मोल गैस के लिए सही आदर्श गैस समीकरण कौन सा है? 1 Marks
उत्तर (Answer): गैस के $n$ मोल के लिए अवस्था का समीकरण बॉयल, चार्ल्स और एवोगाद्रो के नियमों को मिलाकर $PV = nRT$ प्राप्त होता है।
Q14. गैस अणुओं की वर्ग माध्य मूल (rms) चाल ($v_{rms}$) किसके सीधे समानुपाती होती है? 1 Marks
उत्तर (Answer): गैस अणुओं की rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है। अतः, $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, जहाँ $T$ परम ताप है।
Q15. एक आदर्श गैस के लिए बॉयल का नियम किस प्रकार के ऊष्मागतिकी प्रक्रम के दौरान मान्य होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): **बॉयल के नियम** के अनुसार, स्थिर ताप पर गैस की दी गई मात्रा का आयतन उसके दाब के व्युत्क्रमानुपाती होता है ($P \propto 1/V$)। इसलिए, यह **समतापी प्रक्रम** (Isothermal process) के दौरान लागू होता है जहाँ ताप स्थिर रहता है।
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