त्रिकोणमितीय फलन

कक्षा 11 गणित - त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions)

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1. कोण और उनके मापन (Angles and their Measurement)

कोण को मापने की दो मुख्य पद्धतियाँ हैं:

• डिग्री माप (Degree Measure):
• 1 समकोण (Right Angle) = 90 डिग्री (90^\circ)
• 1^\circ = 60 मिनट (60')
• 1' = 60 सेकंड (60'')
• रेडियन माप (Radian Measure):
• वृत्त की त्रिज्या $r$ और चाप की लंबाई $l$ द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण $ heta$ रेडियन में निम्नलिखित होता है:

\theta = \frac{l}{r}

• डिग्री और रेडियन में संबंध:
• \pi \text{ रेडियन} = 180^\circ
• 1 \text{ रेडियन} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 16'
• 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन} \approx 0.01746 \text{ रेडियन}

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2. मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Basic Trigonometric Identities)

किसी समकोण त्रिभुज में यदि लम्ब $P$, आधार $B$ और कर्ण $H$ हों, तो:

1. \sin \theta = \frac{P}{H}

2. \cos \theta = \frac{B}{H}

3. \tan \theta = \frac{P}{B} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

4. \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{H}{P}

5. \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{H}{B}

6. \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{B}{P}

मुख्य वर्ग सर्वसमिकाएँ:

• \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
• 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
• 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

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3. चतुर्थांश नियम (Quadrant Rules & Sign Convention)

• प्रथम चतुर्थांश (0 से 90^\circ या 0 से \pi/2): सभी त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होते हैं (All Positive)।
• द्वितीय चतुर्थांश (90^\circ से 180^\circ या \pi/2 से \pi): केवल \sin \theta और \csc \theta धनात्मक, बाकी ऋणात्मक।
• तृतीय चतुर्थांश (180^\circ से 270^\circ या \pi से 3\pi/2): केवल \tan \theta और \cot \theta धनात्मक, बाकी ऋणात्मक।
• चतुर्थ चतुर्थांश (270^\circ से 360^\circ या 3\pi/2 से 2\pi): केवल \cos \theta और \sec \theta धनात्मक, बाकी ऋणात्मक।

(याद रखने की ट्रिक: All Silence Takes Care या After School To College)

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4. ऋणात्मक कोणों के त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions of Negative Angles)

• \sin(-x) = -\sin x
• \cos(-x) = \cos x
• \tan(-x) = -\tan x
• \csc(-x) = -\csc x
• \sec(-x) = \sec x
• \cot(-x) = -\cot x

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5. योग और अंतर के सूत्र (Sum and Difference Formulas)

• \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
• \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
• \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y
• \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y
• \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
• \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}
• \cot(x + y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot y + \cot x}
• \cot(x - y) = \frac{\cot x \cot y + 1}{\cot y - \cot x}

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6. गुणनफल और योग/अंतर रूपांतरण सूत्र (Transformation Formulas)

योग/अंतर को गुणनफल में बदलना:

• \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
• \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)
• \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
• \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)

गुणनफल को योग/अंतर में बदलना:

• 2 \sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)
• 2 \cos x \sin y = \sin(x+y) - \sin(x-y)
• 2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)
• -2 \sin x \sin y = \cos(x+y) - \cos(x-y)

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7. बहुगुण कोण के सूत्र (Multiple Angle Formulas)

• 2x के सूत्र:
• \sin 2x = 2 \sin x \cos x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}
• \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}
• \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

• 3x के सूत्र:
• \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x
• \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x
• \tan 3x = \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}

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8. त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations)

व्यापक हल (General Solutions):

1. यदि \sin \theta = 0, तो \theta = n\pi, जहाँ n \in Z

2. यदि \cos \theta = 0, तो \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}, जहाँ n \in Z

3. यदि \tan \theta = 0, तो \theta = n\pi, जहाँ n \in Z

4. यदि \sin \theta = \sin \alpha, तो \theta = n\pi + (-1)^n \alpha, जहाँ n \in Z

5. यदि \cos \theta = \cos \alpha, तो \theta = 2n\pi \pm \alpha, जहाँ n \in Z

6. यदि \tan \theta = \tan \alpha, तो \theta = n\pi + \alpha, जहाँ n \in Z