मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 11 - गणित
#### अध्याय: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण (Complex Numbers and Quadratic Equations) - त्वरित रिवीजन नोट्स
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1. सम्मिश्र संख्या की परिभाषा (Definition of Complex Number)
- एक संख्या जिसे
a + ib के रूप में लिखा जा सके, सम्मिश्र संख्या कहलाती है। इसे सामान्यतः z से दर्शाया जाता है।
z = a + ib- यहाँ
a को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग (Real part) कहते हैं, जिसे Re(z) = a लिखा जाता है।
- यहाँ
b को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग (Imaginary part) कहते हैं, जिसे Im(z) = b लिखा जाता है।
a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i (आयोटा) है।
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2. आयोटा (i) के गुण (Properties of i)
i = sqrt(-1)i^2 = -1i^3 = -ii^4 = 1- सामान्य रूप:
i^(4n) = 1, जहाँ n एक पूर्णांक है।
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3. सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित (Algebra of Complex Numbers)
माना z1 = a + ib और z2 = c + id दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
z1 + z2 = (a + c) + i(b + d)
z1 - z2 = (a - c) + i(b - d)
z1 * z2 = (ac - bd) + i(ad + bc)
z1 / z2 = (z1 * bar(z2)) / (|z2|^2) (बशर्ते z2 != 0)
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4. सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी (Conjugate of a Complex Number)
- यदि
z = a + ib, तो इसका संयुग्मी bar(z) निम्नलिखित होता है:
bar(z) = a - ib- महत्वपूर्ण गुण:
z * bar(z) = a^2 + b^2 = |z|^2bar(z1 + z2) = bar(z1) + bar(z2)bar(z1 z2) = bar(z1) bar(z2)
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5. सम्मिश्र संख्या का मापांक (Modulus of a Complex Number)
- यदि
z = a + ib, तो इसका मापांक |z| निम्नलिखित होता है:
|z| = sqrt(a^2 + b^2)- महत्वपूर्ण गुण:
|z1 z2| = |z1| |z2||z1 / z2| = |z1| / |z2| (|z_2| != 0)|bar(z)| = |z|
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6. सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse)
- यदि
z = a + ib != 0, तो z का गुणात्मक प्रतिलोम z^(-1) या (1/z) होता है:
z^(-1) = bar(z) / |z|^2 = (a - ib) / (a^2 + b^2)
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7. ध्रुवीय रूप (Polar Form)
- किसी सम्मिश्र संख्या
z = a + ib को ध्रुवीय रूप में इस प्रकार लिखा जाता है:
z = r(cos(theta) + i sin(theta))- जहाँ:
r = |z| = sqrt(a^2 + b^2) (मापांक)theta = arg(z) (कोणांक / Argument)- कोणांक (
theta) ज्ञात करना:
- पहले
alpha निकालते हैं जहाँ tan(alpha) = |b / a|
- इसके बाद
z के चतुर्थांश (Quadrant) के अनुसार theta का मान तय होता है:
- प्रथम चतुर्थांश में:
theta = alpha
- द्वितीय चतुर्थांश में:
theta = pi - alpha
- तृतीय चतुर्थांश में:
theta = -(pi - alpha) या theta = -pi + alpha
- चतुर्थ चतुर्थांश में:
theta = -alpha
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8. द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations)
- एक द्विघात समीकरण का मानक रूप होता है:
ax^2 + bx + c = 0 (जहाँ a != 0)- विविक्तकर (Discriminant):
D = b^2 - 4ac
- द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) / मूल (Roots):
- जब
D < 0 (ऋणात्मक) हो, तब समीकरण के काल्पनिक (सम्मिश्र) मूल होते हैं:
x = (-b +- sqrt(D)) / (2a) या x = (-b +- i sqrt(-D)) / (2a)
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9. बीजगणित का मूल प्रमेय (Fundamental Theorem of Algebra)
- घात
n वाले प्रत्येक बहुपदीय समीकरण (Polynomial equation) के ठीक n मूल (Roots) होते हैं।
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण
सम्मिश्र संख्याओं का परिचय
परिभाषा: $a + ib$ के रूप में
वास्तविक भाग ($a$) और काल्पनिक भाग ($b$)
इकाई $i$ (आयोता) का मान: $i = \sqrt{-1}$
$i$ की घातें: $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$
सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित
योग (Addition)
व्यवकलन (Subtraction)
गुणन (Multiplication)
भाग (Division)
बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ
सम्मिश्र संख्या के गुणधर्म
सहयुग्मी (Conjugate): $\bar{z} = a - ib$
मापार्क (Modulus): $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
गुणात्मक प्रतिलोम (Multiplicative Inverse): $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
Argand तल और ध्रुवीय निरूपण
आर्गंड तल (Argand Plane)
ध्रुवीय रूप (Polar Form): $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
मापांक $r$ और कोणाक $\theta$ (Modulus and Argument)
द्विघातीय समीकरण
व्यापक रूप: $ax^2 + bx + c = 0$
विविक्तकर (Discriminant): $D = b^2 - 4ac$
ऋणात्मक विविक्तकर के लिए वास्तविक और काल्पनिक मूल
द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula): $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
बीजगणित का मूल प्रमेय (Fundamental Theorem of Algebra)
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): सम्मिश्र संख्या $z = 0 - i$ ऋणात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित है। मुख्य परिसर $(-\pi, \pi]$ में धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाया गया कोण $-\pi/2$ है।
उत्तर (Answer): दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|a + ib| = \frac{|x + i|}{|x - i|} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1$ प्राप्त होता है। अतः $a^2 + b^2 = 1$ है।
उत्तर (Answer): ध्यान दें कि $i^n + i^{n+1} = i^n(1 + i)$ है। यह योग एक गुणोत्तर श्रेणी है। चूँकि $i$ की घातें 4 के चक्र में दोहराई जाती हैं, 13 पदों का योग सरल होकर $i$ बनता है।
उत्तर (Answer): $(1 - i) - (-1 + 6i) = 1 - i + 1 - 6i = (1 + 1) + (-1 - 6)i = 2 - 7i$ है।
उत्तर (Answer): हर का परिमेयकरण करने पर: $x + iy = \frac{3(2 + \cos\theta - i\sin\theta)}{(2 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta} = \frac{3(2 + \cos\theta - i\sin\theta)}{5 + 4\cos\theta}$ प्राप्त होता है। वास्तविक भाग की तुलना करने पर $x = \frac{3(2 + \cos\theta)}{5 + 4\cos\theta}$ प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): $z = 1 + i$ का गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i}{1 - (-1)} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$ है।
उत्तर (Answer): $a = 1+i$, $b = 6+i$, $c = 2+6i$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, विविक्तकर $D = 51 - 20i$ प्राप्त होता है। हल करने पर $y = -2$ और $y = 1 - 2i$ प्राप्त होते हैं।
उत्तर (Answer): यहाँ $x = -5 + 4i$ है। तब $x + 5 = 4i$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+5)^2 = 16i^2 \implies x^2 + 10x + 25 = -16 \implies x^2 + 10x + 41 = 0$ प्राप्त होता है। बहुपद को विभाजित करने पर शेषफल 0 आता है। अतः मान 0 है।
उत्तर (Answer): 3 से गुणा करने पर: $9x^2 - 12x + 20 = 0$ प्राप्त होता है। $a=9, b=-12, c=20$ के साथ द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(9)(20)}}{2(9)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 720}}{18} = \frac{12 \pm \sqrt{-576}}{18} = \frac{12 \pm 24i}{18} = \frac{2 \pm 4i}{3}$ है।
उत्तर (Answer): अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें: $\frac{1}{1 - i} = \frac{1(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i}{1^2 - (-1)} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ है। अतः वास्तविक भाग $\frac{1}{2}$ है।
उत्तर (Answer): अंश की गणना करें: $z_1 + z_2 + 1 = (2 - i) + (1 + i) + 1 = 4$ है। हर की गणना करें: $z_1 - z_2 + i = (2 - i) - (1 + i) + i = 1 - i$ है। अतः $\frac{4}{1 - i} = \frac{4(1 + i)}{2} = 2(1 + i)$ है। मापांक $|2(1 + i)| = 2 \sqrt{1^2 + 1^2} = 2\sqrt{2}$ है।
उत्तर (Answer): $z = -1 - i$ के लिए, वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग ऋणात्मक हैं, इसलिए सम्मिश्र संख्या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। $\alpha = \tan^{-1}|(-1)/(-1)| = \tan^{-1}(1) = \pi/4$ है। कोणांक $\theta = -(\pi - \pi/4) = -3\pi/4$ है।
उत्तर (Answer): दिया गया है $(x + iy)(1 + i) = 2$, हम लिख सकते हैं $x + iy = \frac{2}{1 + i} = \frac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2(1 - i)}{2} = 1 - i$। वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, $x = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
उत्तर (Answer): $i^{-39} = \frac{1}{i^{39}}$ है। चूकि $39 = 4 \times 9 + 3$ है, $i^{39} = i^3 = -i$ है। अतः $\frac{1}{-i} = \frac{1}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$ है।
उत्तर (Answer): द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर जहाँ $a=1, b=1, c=1$ है: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।