रैखिक असमिकाएं

कक्षा 11 गणित - रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स

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परिचय (Introduction)

दो वास्तविक संख्याओं या व्यंजकों के बीच का असमता (Inequality) संबंध 'असमिका' कहलाता है। इसे चिन्हों <, >, <=, या >= द्वारा दर्शाया जाता है।

मुख्य परिभाषाएँ और नियम (Key Definitions and Rules)

1. संख्यात्मक असमिका (Numerical Inequality): वह असमिका जिसमें केवल संख्याएँ होती हैं, चर (variable) नहीं होते।

• उदाहरण: 3 < 5, -7 > -10

2. बीजीय असमिका (Algebraic Inequality): वह असमिका जिसमें कम से कम एक चर (variable) होता है।

• उदाहरण: x < 5, 2x + 3 >= 0

3. रैखिक असमिका (Linear Inequality): एक चर या दो चरों में ऐसी असमिका जिसमें चर की अधिकतम घात (degree) 1 होती है।

• एक चर में: ax + b < 0
• दो चरों में: ax + by < c

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असमिकाओं के बीजगणितीय नियम (Algebraic Rules for Inequalities)

असमिकाओं को हल करते समय निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाता है:

1. असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है, इससे असमिका का चिन्ह नहीं बदलता।

• यदि x < y, तो x + c < y + c और x - c < y - c

2. असमिका के दोनों पक्षों को किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, इससे असमिका का चिन्ह नहीं बदलता।

• यदि x < y और c > 0, तो cx < cy और x/c < y/c

3. असमिका के दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है (< का >, और <= का >= हो जाता है)।

• यदि x < y और c < 0, तो cx > cy और x/c > y/c

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वास्तविक संख्याओं के अंतराल (Intervals as Subsets of R)

असमिकाओं के हलों को अंतराल (Intervals) के रूप में दर्शाया जाता है:

1. विवृत अंतराल (Open Interval): इसमें अंत्य बिंदु शामिल नहीं होते।

• संकेतन: (a, b) का अर्थ है a < x < b

2. संवृत अंतराल (Closed Interval): इसमें अंत्य बिंदु भी शामिल होते हैं।

• संकेतन: [a, b] का अर्थ है a <= x <= b

3. विवृत-संवृत अंतराल (Semi-open / Half-open Interval):

• [a, b) का अर्थ है a <= x < b
• (a, b] का अर्थ है a < x <= b

4. अनंत अंतराल (Infinite Intervals):

• [a, oo) का अर्थ है x >= a
• (-oo, b) का अर्थ है x < b

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एक चर में रैखिक असमिकाओं का हल (Solution of Linear Inequalities in One Variable)

• हल निकालने के लिए बीजीय समीकरणों की तरह ही पक्षांतर (Transposition) किया जाता है।
• प्राप्त हल को संख्या रेखा (Number Line) पर एक गाढ़े बिंदु (solid dot) या खोखले बिंदु (hollow dot) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:
• >= या <= के लिए गाढ़ा बिंदु (Solid dot) का प्रयोग होता है (बिंदु शामिल है)।
• > या < के लिए खोखला बिंदु (Hollow dot) का प्रयोग होता है (बिंदु शामिल नहीं है)।

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दो चरों में रैखिक असमिकाओं का हल (Solution of Linear Inequalities in Two Variables)

1. दो चरों x और y में एक रैखिक असमिका का आलेखीय हल (Graphical Solution):

• सबसे पहले असमिका को समीकरण में बदलकर (जैसे ax + by = c) रेखा खींचते हैं।
• यदि असमिका में सख्त असमता (< या >) हो, तो रेखा डॉटेड (Dotted) खींची जाती है।
• यदि असमता (<= या >=) हो, तो रेखा गाढ़ी (Solid) खींची जाती है।
• इसके बाद मूल बिंदु (0, 0) या किसी अन्य बिंदु से असमिका की जाँच करके उपयुक्त अर्द्ध-तल (Half-plane) को छायांकित (Shade) करते हैं।

2. रैखिक असमिकाओं का निकाय (System of Linear Inequalities):

• दो या दो से अधिक असमिकाओं के निकाय का हल वह उभयनिष्ठ (Common) क्षेत्र होता है जो निकाय की सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है।