क्रमचय और संचय

कक्षा 11 गणित - क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) - त्वरित पुनरीक्षण सूत्र शीट

1. आधारभूत गणना का सिद्धांत (Fundamental Principle of Counting)

• गुणा का सिद्धांत (Multiplication Principle): यदि कोई कार्य $m$ विभिन्न तरीकों से हो सकता है, और उसके बाद दूसरा कार्य $n$ विभिन्न तरीकों से हो सकता है, तो दोनों कार्य क्रमिक रूप से $m \times n$ तरीकों से पूरे हो सकते हैं।
• योग का सिद्धांत (Addition Principle): यदि कोई कार्य $m$ तरीकों से या स्वतंत्र रूप से $n$ तरीकों से हो सकता है (दोनों एक साथ नहीं), तो कार्य $m + n$ तरीकों से हो सकता है।

2. क्रमगुणित (Factorial)

• किसी प्राकृतिक संख्या $n$ का क्रमगुणित (Factorial) 1 से लेकर $n$ तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल होता है। इसे $n!$ या $\lfloor n$ से दर्शाया जाता है।
• सूत्र: $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$
• विशेष स्थितियाँ:
• $0! = 1$
• $n! = n \times (n-1)!$
• नकारात्मक संख्याओं के लिए क्रमगुणित परिभाषित नहीं होता है।

3. क्रमचय (Permutations)

क्रमचय का अर्थ है - वस्तुओं को व्यवस्थित करना (Arrangement) जहाँ क्रम (Order) का महत्व होता है।

• सूत्र: $n$ में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ (जहाँ $0 \le r \le n$)

• महत्वपूर्ण परिणाम:
• सभी $n$ वस्तुओं को एक साथ लेने पर क्रमचय: $P(n, n) = n!$
• $P(n, 0) = 1$
• $P(n, 1) = n$

• विशेष स्थितियाँ (Special Cases of Permutations):

1. पुनरावृत्ति (Repetition): यदि $n$ वस्तुओं में से सभी वस्तुओं का चयन किया जाए और किसी वस्तु को एक से अधिक बार दोहराया जा सके, तो कुल व्यवस्थाएँ = $n^r$ (जब $r$ वस्तुएँ ली जाती हैं)।

2. समान वस्तुएँ (Like Objects): यदि $n$ वस्तुओं में से $p$ वस्तुएँ एक प्रकार की हैं, $q$ वस्तुएँ दूसरे प्रकार की हैं, और शेष सभी भिन्न हैं, तो कुल क्रमचय:

$$\frac{n!}{p! \times q!}$$

4. संचय (Combinations)

संचय का अर्थ है - वस्तुओं का चयन करना (Selection) जहाँ क्रम का कोई महत्व नहीं होता है।

• सूत्र: $n$ में से $r$ वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले संચयों की संख्या:

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \times (n-r)!}$$ (जहाँ $0 \le r \le n$)

• क्रमचय और संचय में संबंध:

$$P(n, r) = C(n, r) \times r!$$

• संचय के महत्वपूर्ण गुणधर्म (Properties of Combinations):

1. $C(n, r) = C(n, n-r)$

2. यदि $C(n, x) = C(n, y)$, तो या तो $x = y$ या $x + y = n$

3. $C(n, r) + C(n, r-1) = C(n+1, r)$ (पास्कल का नियम)

4. $C(n, 0) = C(n, n) = 1$

5. $C(n, 1) = C(n, n-1) = n$

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यह सूत्र शीट माध्यमिक शिक्षा मंडल (MP Board) कक्षा 11 के विद्यार्थियों के लिए परीक्षा के समय त्वरित पुनरीक्षण हेतु अत्यंत उपयोगी है।