द्विपद प्रमेय

कक्षा 11 गणित

अध्याय: द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) - त्वरित संशोधन नोट्स

1. द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem)

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, किसी भी द्विपद व्यंजक (a + b) की घात n का विस्तार निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:

(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,r)a^(n-r)b^r + ... + C(n,n)b^n

इसे संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है:

(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n,r) a^{n-r} b^r

जहाँ C(n,r) या ^nC_r संचय (Combination) को दर्शाता है और इसका सूत्र है:

^nC_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}

---

2. द्विपद विस्तार की मुख्य विशेषताएँ

• विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 होती है।
• पहले पद से शुरू होने पर, r-वें पद में a की घात घटती जाती है (n - r) और b की घात बढ़ती जाती है (r).
• विस्तार के किसी भी पद में a और b की घातों का योग हमेशा n होता है।
• द्विपद गुणांक (^nCr) समदूरस्थ पदों के लिए समान होते हैं, अर्थात ^nCr = ^nC_{n-r}।

---

3. व्यापक पद (General Term)

विस्तार (a + b)^n में, व्यापक पद (जिसे (r + 1)-वाँ पद भी कहते हैं) T_{r+1} द्वारा दिया जाता है:

T{r+1} = ^nCr a^{n-r} b^r

---

4. मध्य पद (Middle Term)

विस्तार (a + b)^n में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है:

• स्थिति 1: यदि n एक सम संख्या (Even) है, तो केवल एक मध्य पद होता है, जो कि (\frac{n}{2} + 1)-वाँ पद होता है।

मध्य पद = T{(\frac{n}{2} + 1)} = ^nC{n/2} a^{n/2} b^{n/2}

• स्थिति 2: यदि n एक विषम संख्या (Odd) है, तो दो मध्य पद होते हैं, जो कि (\frac{n+1}{2})-वें और (\frac{n+3}{2})-वें पद होते हैं।

मध्य पद = T{\frac{n+1}{2}} और T{\frac{n+3}{2}}

---

5. अंत से r-वाँ पद (Term from the End)

विस्तार (a + b)^n के अंत से r-वाँ पद, प्रारंभ से (n - r + 2)-वाँ पद होता है।

सूत्र: अंत से Tr = ^nC{n-r+1} a^{r-1} b^{n-r+1} (विस्तार (b + a)^n के प्रारंभ से r-वाँ पद मानकर भी हल कर सकते हैं)।

---

6. कुछ महत्वपूर्ण द्विपद गुणांकों के गुणधर्म (Properties of Binomial Coefficients)

सुविधा के लिए ^nCr को Cr लिखा जाता है:

1. C0 + C1 + C2 + ... + Cn = 2^n

2. C0 - C1 + C2 - C3 + ... = 0

3. C0 + C2 + C4 + ... = C1 + C3 + C5 + ... = 2^{n-1}

4. ^nCr + ^nC{r-1} = ^{n+1}C_r

5. \frac{^nCr}{^nC{r-1}} = \frac{n - r + 1}{r}