मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 11 गणित - अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) - त्वरित संशोधन नोट्स
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### परिचय (Introduction)
- अनुक्रम (Sequence): संख्याओं का एक ऐसा समुच्चय जो किसी निश्चित नियम के अनुसार एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित होता है, अनुक्रम कहलाता है।
- श्रेणी (Series): जब किसी अनुक्रम के पदों को '+' या '-' चिन्ह के साथ जोड़ा जाता है, तो उसे श्रेणी कहते हैं।
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### 1. समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - A.P.)
एक अनुक्रम समान्तर श्रेढ़ी कहलाता है यदि किन्हीं भी दो क्रमागत पदों का अंतर (पछला पद - अगला पद) सदैव समान रहता है। इस स्थिर अंतर को सार्व अंतर (Common Difference) कहते हैं।
- व्यापक रूप (General Form):
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
- जहाँ
a = प्रथम पद (First Term)
d = सार्व अंतर (Common Difference)
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- n-वाँ पद (n-th Term):
a_n = a + (n - 1)d
- अंतिम पद से n-वाँ पद:
l_n = l - (n - 1)d (जहाँ l अंतिम पद है)
- प्रथम n पदों का योग (Sum of n terms):
S_n = n/2 * [2a + (n - 1)d]
या S_n = n/2 * (a + l) (जहाँ l अंतिम पद है)
- n-वें पद और योग में संबंध:
an = Sn - S_{n-1}
- समान्तर माध्य (Arithmetic Mean - A.M.):
यदि a, A, b समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो A = (a + b) / 2
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### 2. गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression - G.P.)
एक अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढ़ी कहलाता है यदि प्रत्येक पद का अपने पूर्ववर्ती पद के साथ अनुपात सदैव अचर (Constant) रहता है। इस अचर अनुपात को सार्व अनुपात (Common Ratio) कहते हैं।
- व्यापक रूप (General Form):
a, ar, ar^2, ar^3, ...
- जहाँ
a = प्रथम पद
r = सार्व अनुपात (r = a2 / a1)
- महत्वपूर्ण सूत्र:
- n-वाँ पद (n-th Term):
a_n = a * r^(n-1)
- प्रथम n पदों का योग (Sum of n terms):
- यदि
r > 1 है: S_n = a * (r^n - 1) / (r - 1)
- यदि
r < 1 है: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)
- यदि
r = 1 है: S_n = a * n
- अनंत गुणोत्तर श्रेढ़ी का योग (Sum to Infinity):
S_∞ = a / (1 - r) (जहाँ |r| < 1)
- गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean - G.M.):
यदि a, G, b गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो G = √(ab)
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### 3. विशेष श्रेणियाँ (Special Series)
प्राकृतिक संख्याओं के योग से संबंधित कुछ मानक सूत्र:
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग:
Σn = 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n + 1)] / 2
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग:
Σn^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = [n(n + 1)(2n + 1)] / 6
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग:
Σn^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = {[n(n + 1)] / 2}^2
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### 4. महत्वपूर्ण संबंध (Important Relations)
- यदि
A और G किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं a और b के क्रमशः समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य हैं, तो:
A = (a + b) / 2G = √(ab)A ≥ G (समान्तर माध्य हमेशा गुणोत्तर माध्य से बड़ा या बराबर होता है)- द्विघातीय समीकरण जिसके मूल
A और G हैं: x^2 - 2Ax + G^2 = 0
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series)
अनुक्रम (Sequence)
परिभाषा (Definition)
वास्तविक अनुक्रम (Real Sequence)
पद (Terms of a Sequence)
श्रेणी (Series)
परिभाषा (Definition)
परिमित और अपरिमित श्रेणियाँ (Finite and Infinite Series)
समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - A.P.)
परिभाषा (Definition)
व्यापक पद (General Term / $n$-th Term)
प्रथम $n$ पदों का योग (Sum of $n$ Terms)
समान्तर माध्य (Arithmetic Mean - A.M.)
गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression - G.P.)
परिभाषा (Definition)
व्यापक पद (General Term / $n$-th Term)
प्रथम $n$ पदों का योग (Sum of $n$ Terms)
अनंत पदों का योग (Sum to Infinity)
गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean - G.M.)
विशेष श्रेणियाँ (Special Series)
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग ($\sum n$)
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ($\sum n^2$)
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ($\sum n^3$)
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): $a_n = 2n + 1$ में $n = 1, 2, 3, 4, ...$ रखें। $n = 1$ के लिए: $a_1 = 2(1) + 1 = 3$। $n = 2$ के लिए: $a_2 = 2(2) + 1 = 5$। $n = 3$ के लिए: $a_3 = 2(3) + 1 = 7$। $n = 4$ के लिए: $a_4 = 2(4) + 1 = 9$। अनुक्रम 3, 5, 7, 9, ... है। अतः सही विकल्प A है।
उत्तर (Answer): मान लीजिए G.P. में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। उनका गुणनफल $\frac{a}{r} \times a \times ar = a^3 = 1728$ है, जिससे $a = 12$ प्राप्त होता है। उनका योग $\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38 \Rightarrow 12(\frac{1}{r} + 1 + r) = 38 \Rightarrow \frac{1}{r} + 1 + r = \frac{19}{6} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{13}{6}$ है। इसे हल करने पर $r = \frac{2}{3}$ या $\frac{3}{2}$ मिलता है। संख्याएँ 8, 12, 18 हैं। अतः सही विकल्प B है।
उत्तर (Answer): A.P. के $n$वें पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करते हुए। दिया गया है $a = 5$, $d = 3$, और $n = 20$। अतः $a_{20} = 5 + (20-1) \times 3 = 5 + 19 \times 3 = 5 + 57 = 62$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है।
उत्तर (Answer): आइए लगातार पदों के अनुपात की जांच करें: $\frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$, $\frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$, $\frac{1/27}{1/9} = \frac{1}{3}$। चूंकि सार्व अनुपात स्थिर है ($r = \frac{1}{3}$), यह एक गुणोत्तर श्रेणी है। अतः सही विकल्प B है।
उत्तर (Answer): G.P. का सार्व अनुपात $r$ किसी भी पद को उसके पिछले पद से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। $r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है। अतः सही विकल्प C है।
उत्तर (Answer): दिया गया है $a_4 = ar^3 = 8$ और $a_7 = ar^6 = 64$। $a_7$ को $a_4$ से भाग देने पर: $\frac{ar^6}{ar^3} = \frac{64}{8} \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$। अब, $ar^3 = 8$ में $r$ का मान रखने पर: $a(2)^3 = 8 \Rightarrow 8a = 8 \Rightarrow a = 1$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है।
उत्तर (Answer): प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम $a = 1$, $d = 1$, और $n$ पदों के साथ एक A.P. है। योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करके, हमें $S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1) \times 1] = \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है।
उत्तर (Answer): गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों के योग के सूत्र में, हर में $(r - 1)$ होता है। शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, इसलिए $r$, 1 के बराबर नहीं हो सकता। इस प्रकार, सूत्र $r \neq 1$ के लिए मान्य है। अतः सही विकल्प B है।
उत्तर (Answer): 7वाँ पद ज्ञात करने के लिए, सूत्र में $n = 7$ रखें: $a_7 = (-1)^{7-1} (7)^3 = (-1)^6 \times 343 = 1 \times 343 = 343$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प D है।
उत्तर (Answer): गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा के अनुसार, लगातार पदों का अनुपात स्थिर होता है, यानी $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$। वज्र गुणन करने पर $b^2 = ac$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है।
उत्तर (Answer): समान्तर श्रेणी की परिभाषा के अनुसार, लगातार पदों के बीच का अंतर स्थिर होता है, यानी $b - a = c - b$। इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर $2b = a + c$, या $b = \frac{a + c}{2}$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है।
उत्तर (Answer): अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है, बशर्ते $|r| < 1$ हो। यहाँ, $a = 1$ और $r = \frac{1}{2}$ है। अतः $S_\infty = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ है। इसलिए, सही विकल्प B है।
उत्तर (Answer): A.P. के पहले $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $a = 1$, $d = 2$, और $n = 20$ है। अतः $S_{20} = \frac{20}{2}[2(1) + (20-1) \times 2] = 10[2 + 19 \times 2] = 10[2 + 38] = 10 \times 40 = 400$ है। इस प्रकार, सही विकल्प C है।
उत्तर (Answer): आइए पहले कुछ पद ज्ञात करें। $a_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 1$। $S_2 = 2^2 - 1 = 3$, अतः $a_2 = S_2 - S_1 = 3 - 1 = 2$। $S_3 = 2^3 - 1 = 7$, अतः $a_3 = S_3 - S_2 = 7 - 3 = 4$। अनुक्रम 1, 2, 4, 8, ... है जो $a=1$ और $r=2$ के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी है। अतः सही विकल्प B है।
उत्तर (Answer): दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $a = 2$ और $b = 8$ है। अतः G.M. = $\sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$ है। इस प्रकार, सही विकल्प A है।