प्रायिकता

कक्षा 11 गणित - प्रायिकता (Probability) - त्वरित संशोधन नोट्स

इस अध्याय में हम यादृच्छिक प्रयोगों, घटनाओं और उनकी प्रायिकता की गणना से संबंधित सभी महत्वपूर्ण सूत्रों और अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे।

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1. महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)

• यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment): एक ऐसा प्रयोग जिसके सभी संभावित परिणामों की जानकारी पहले से होती है, लेकिन यह निश्चित नहीं होता कि कौन सा परिणाम आएगा (जैसे- पासा फेंकना)।
• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space - $S$): किसी यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय प्रतिदर्श समष्टि कहलाता है।
• उदाहरण: सिक्का उछालने पर $S = \{H, T\}$
• घटना (Event - $E$): प्रतिदर्श समष्टि $S$ का एक उपसमुच्चय (Subset) घटना कहलाता है।
• प्रारंभिक घटना (Elementary Event): यदि किसी घटना में प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक ही परिणाम हो, तो उसे प्रारंभिक घटना कहते हैं।
• असंयोगी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): यदि दो घटनाएँ $A$ और $B$ एक साथ नहीं घटित हो सकतीं, तो वे असंयोगी कहलाती हैं। इस स्थिति में $A \cap B = \phi$ होता है।
• निःशेष घटनाएँ (Exhaustive Events): यदि सभी घटनाओं का संघ (Union) प्रतिदर्श समष्टि $S$ के बराबर हो, तो वे निःशेष घटनाएँ कहलाती हैं। अर्थात् $A \cup B \cup C \dots = S$

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2. प्रायिकता की классическая (Classical) परिभाषा

यदि किसी प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $n(S)$ समसंभाव्य परिणाम हैं, और किसी घटना $E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E)$ है, तो घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ निम्नलिखित है:

$$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$$

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. किसी भी घटना $E$ के लिए, $0 \le P(E) \le 1$ होता है।

2. असंभव घटना की प्रायिकता $0$ होती है ($P(\phi) = 0)।$

3. निश्चित घटना की प्रायिकता $1$ होती है ($P(S) = 1)।$

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3. प्रायिकता के मुख्य सूत्र और नियम (Key Formulas & Laws)

• पूरक घटना (Complementary Event - $E'$ या $\bar{E}$):

किसी घटना $E$ के न होने की प्रायिकता।

$$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$$

या $P(E) + P(\bar{E}) = 1$

• योग नियम (Addition Theorem of Probability):

किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

• असंयोगी घटनाओं के लिए (For Mutually Exclusive Events):

यदि $A$ और $B$ असंयोगी हैं (अर्थात $P(A \cap B) = 0$):

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

• अंतर घटना के लिए (Difference of Events):

घटना $A$ जो घटित हो लेकिन $B$ नहीं ($A - B$):

$$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$$

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4. डी मॉर्गन के नियम (De Morgan's Laws)

प्रायिकता के प्रश्नों को हल करते समय समुच्चय (Sets) के इन नियमों का व्यापक उपयोग होता है:

1. $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B)$

2. $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$

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5. कुछ विशेष और महत्वपूर्ण परिणाम

• यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं, तो:
• कम से कम एक घटना के घटने की प्रायिकता = $P(A \cup B)$
• ठीक एक घटना के घटने की प्रायिकता = $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$
• न तो $A$ और न ही $B$ के घटने की प्रायिकता = $P(\bar{A} \cap \bar{B})$