सहसंबंध

अध्याय: सह-संबंध (Correlation) - त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स

यह नोट्स मध्य प्रदेश बोर्ड (MP Board) कक्षा 11वीं के अर्थशास्त्र के छात्रों के लिए विशेष रूप से तैयार किए गए हैं।

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1. सह-संबंध का अर्थ (Meaning of Correlation)

सह-संबंध एक सांख्यिकीय तकनीक है जो दो या दो से अधिक चर (Variables) के बीच के आपसी संबंध की मात्रा और दिशा को मापاتي है।

• उदाहरण के लिए: वर्षा और फसल की पैदावार के बीच संबंध, या आय और उपभोग के बीच संबंध।

2. सह-संबंध के प्रकार (Types of Correlation)

सह-संबंध को मुख्य रूप से तीन आधारों पर वर्गीकृत किया जाता है:

• (क) दिशा के आधार पर (Based on Direction):

1. धनात्मक सह-संबंध (Positive Correlation): जब दोनों चर एक ही दिशा में परिवर्तन करते हैं। (अर्थात, एक चर के बढ़ने पर दूसरा भी बढ़ता है, या घटने पर घटता है)। जैसे: मूल्य और पूर्ति।

2. ऋणात्मक सह-संबंध (Negative Correlation): जब दोनों चर विपरीत दिशा में परिवर्तन करते हैं। (अर्थात, एक चर के बढ़ने पर दूसरा घटता है)। जैसे: मूल्य और मांग।

• (ख) चरों की संख्या के आधार पर (Based on Number of Variables):

1. सरल सह-संबंध (Simple Correlation): जब केवल दो चरों के बीच संबंध का अध्ययन किया जाए।

2. बहु और आंशिक सह-संबंध (Multiple and Partial Correlation): जब दो से अधिक चरों के आपसी संबंधों का अध्ययन किया जाए।

• (ग) अनुपात या स्थिरता के आधार पर (Based on Degree):

1. रेखीय सह-संबंध (Linear Correlation): जब चरों में परिवर्तन का अनुपात हमेशा स्थिर रहता है।

2. अरेखीय सह-संबंध (Non-linear Correlation): जब चरों में परिवर्तन का अनुपात स्थिर नहीं रहता है।

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3. सह-संबंध की श्रेणियाँ / मात्रा (Degrees of Correlation)

कार्ल पियर्सन के सह-संबंध गुणांक (r) के आधार पर:

• पूर्ण सह-संबंध (Perfect): r = +1 (धनात्मक) या r = -1 (ऋणात्मक)
• उच्च सह-संबंध (High): +0.75 से +1.0 (या -0.75 से -1.0)
• मध्यम सह-संबंध (Moderate): +0.25 से +0.75 (या -0.25 से -0.75)
• निम्न सह-संबंध (Low): 0 से +0.25 (या 0 से -0.25)
• शून्य सह-संबंध (Zero / No Correlation): r = 0 (चरों के बीच कोई संबंध नहीं है)

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4. सह-संबंध ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Measuring Correlation)

#### विधि 1: प्रकीर्ण आरेख विधि (Scatter Diagram Method)

• यह एक ग्राफिकल विधि है।
• इसमें दिए गए आँकड़ों को बिन्दुओं (Dots) के रूप में ग्राफ पेपर पर दर्शाया जाता है।
• बिन्दुओं के फैलाव को देखकर सह-संबंध की दिशा और मात्रा का अनुमान लगाया जाता है।

#### विधि 2: कार्ल पियर्सन का सह-संबंध गुणांक (Karl Pearson's Coefficient of Correlation)

यह सह-संबंध मापने की सबसे लोकप्रिय गणितीय विधि है। इसे r द्वारा दर्शाया जाता है। इसका मान हमेशा -1 और +1 के बीच होता है।

मुख्य सूत्र (Main Formula):

r = Sum(X - X̄)(Y - Ȳ) / [Sqrt(Sum(X - X̄)^2) * Sqrt(Sum(Y - Ȳ)^2)]

जहाँ:

• X और Y = दिए गए चर
• X̄ और Ȳ = चरों के माध्य (Means)

(संक्षिप्त सूत्र / Shortcut Formula):

r = [N Sum(XY) - (Sum X Sum(Y)] / [Sqrt(N Sum(X^2) - (Sum X)^2) Sqrt(N * Sum(Y^2) - (Sum Y)^2)]

#### विधि 3: स्पीयरमैन की कोटि अंतर विधि (Spearman's Rank Difference Method)

यह विधि तब प्रयोग की जाती है जब चरों के गुण (जैसे - बुद्धिमत्ता, ईमानदारी, सौंदर्य) को अंकों में नहीं मापा जा सकता, बल्कि उन्हें रैंक (Rank या कोटि) दी जाती है।

सूत्र (Formula):

R = 1 - [6 * Sum(d^2) / (N(N^2 - 1))]

जहाँ:

• R = कोटि सह-संबंध गुणांक (Rank Correlation Coefficient)
• d = दोनों रैंकों के बीच का अंतर (Rx - Ry)
• N = प्रेक्षणों की कुल संख्या (Number of Observations)

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5. महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points for Exams)

1. सह-संबंध गुणांक (r) की इकाई (Unit) नहीं होती है, यह एक शुद्ध संख्या है।

2. r का मान कभी भी -1 से कम और +1 से अधिक नहीं हो सकता।

3. यदि r = 0, तो इसका अर्थ है कि चरों के बीच कोई रैखिक सह-संबंध नहीं है।

4. कार्ल पियर्सन विधि में चरों के रैखिक (Linear) संबंध की मान्यता होती है।