दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म

अध्याय: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

कक्षा: 10 (गणित - MP Board)

त्वरित पुनरीक्षण नोट्स / फॉर्मूला शीट

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1. परिचय (Introduction)

• रैखिक समीकरण का व्यापक रूप: दो चर $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है, जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं तथा $a \neq 0$ और $b \neq 0$।
• रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप:

पहला समीकरण: $a1x + b1y + c_1 = 0$

दूसरा समीकरण: $a2x + b2y + c_2 = 0$

(जहाँ $a1, b1, c1, a2, b2, c2$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तथा $a1^2 + b1^2 \neq 0$ और $a2^2 + b2^2 \neq 0$)।

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2. गुणांकों के अनुपात और ग्राफीय एवं बीजगणितीय निरूपण (Conditions for Solvability)

मान लीजिए हमारे पास समीकरण युग्म $a1x + b1y + c1 = 0$ और $a2x + b2y + c2 = 0$ है:

| क्र.सं. | अनुपातों की तुलना | ग्राफीय निरूपण (Lines) | बीजगणितीय निरूपण (Solutions) | युग्म का प्रकार (Consistency) |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| 1. | $\frac{a1}{a2} \neq \frac{b1}{b2}$ | प्रतिच्छेदी रेखाएं (Intersecting lines) | अद्वितीय हल (Exactly one solution / Unique solution) | संगत (Consistent) |

| 2. | $\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2}$ | संपाती रेखाएं (Coincident lines) | अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely many solutions) | आश्रित एवं संगत (Dependent and Consistent) |

| 3. | $\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} \neq \frac{c1}{c2}$ | समांतर रेखाएं (Parallel lines) | कोई हल नहीं (No solution) | असंगत (Inconsistent) |

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3. रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods of Solving)

इस अध्याय में समीकरणों को हल करने की मुख्य रूप से तीन बीजगणितीय विधियाँ हैं:

#### (क) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

1. किसी एक समीकरण (जैसे समीकरण 1) से एक चर (जैसे $y$) का मान दूसरे चर ($x$) के पदों में निकालते हैं।

2. इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित (Substitute) करके $x$ का मान ज्ञात करते हैं।

3. $x$ के इस मान को वापस पहले समीकरण में रखकर $y$ का मान प्राप्त करते हैं।

#### (ख) विलोपन विधि (Elimination Method)

1. दोनों समीकरणों में किसी एक चर ($x$ या $y$) के गुणांकों को बराबर करने के लिए उपयुक्त शून्येतर (non-zero) संख्याओं से दोनों समीकरणों में गुणा करते हैं।

2. इसके बाद दोनों समीकरणों को जोड़ने या घटाने पर वह चर विलुप्त (Eliminate) हो जाता है।

3. दूसरे चर का मान निकालकर, उसे किसी एक समीकरण में रखकर पहले चर का मान ज्ञात कर लेते हैं।

#### (ग) वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)

यदि समीकरण $a1x + b1y + c1 = 0$ और $a2x + b2y + c2 = 0$ हों, तो $x$ और $y$ के मान निम्नलिखित सूत्र से निकाले जाते हैं:

$$\frac{x}{b1c2 - b2c1} = \frac{y}{c1a2 - c2a1} = \frac{1}{a1b2 - a2b1}$$

• याद रखने की आसान ट्रिक (चक्र विधि):

`

x y 1

b1 c1 a1 b1

b2 c2 a2 b2

`

इससे सूत्र बनता है:

• $x = \frac{b1c2 - b2c1}{a1b2 - a2b1}$
• $y = \frac{c1a2 - c2a1}{a1b2 - a2b1}$

(ध्यान दें: यह विधि तभी लागू होती है जब $a1b2 - a2b1 \neq 0$ हो)

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4. महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points to Remember)

• यदि कोई समीकरण युग्म संगत (Consistent) है, तो उसका कम से कम एक हल अवश्य होता है।
• यदि समीकरण युग्म असंगत (Inconsistent) है, तो उसका कोई हल नहीं होता और उसका ग्राफ हमेशा समांतर रेखाएँ प्रदर्शित करता है।
• इबारती प्रश्नों (Word Problems) में, पहले दी गई स्थितियों के आधार पर दो रैखिक समीकरणों का निर्माण करना होता है और फिर उपयुक्त विधि द्वारा उन्हें हल करना होता है।