निर्देशांक ज्यामिति

Q1. बिंदुओं A(-2, 3) और B(4, 5) के बीच की दूरी ज्ञात करें। 4 Marks

उत्तर (Answer): **दो बिंदुओं के बीच की दूरी** \nदो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी को दूरी के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जो इस प्रकार है: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) \nइस सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदुओं A(-2, 3) और B(4, 5) के बीच की दूरी को ज्ञात कर सकते हैं: √((4 - (-2))^2 + (5 - 3)^2) √((6)^2 + (2)^2) √(36 + 4) √40 √(4 * 10) √4 * √10 2√10 \nइसलिए, बिंदुओं A(-2, 3) और B(4, 5) के बीच की दूरी 2√10 है।

Q2. ग्राफ पर दिए गए बिंदुओं A(1, -2) और B(3, 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें। 5 Marks

उत्तर (Answer): **एक रेखा का समीकरण ज्ञात करना** \nजब दो बिंदु दिए जाते हैं, तो हम उन दोनों बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए सीधी रेखा के ढाल का उपयोग करते हैं। सीधी रेखा के ढाल (म) का सूत्र दिए गए दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के लिए है: \nम = (y2 - y1) / (x2 - x1) \nइस सूत्र का उपयोग करके, हम दिए गए बिंदुओं A(1, -2) और B(3, 2) से गुजरने वाली रेखा के ढाल को ज्ञात कर सकते हैं: \nम = (2 - (-2)) / (3 - 1) \nम = 4 / 2 \nम = 2 \nअब हमारे पास ढाल है, हम बिंदु A(1, -2) के साथ ढाल 2 का उपयोग करके रेखा का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं। रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हैं, जो इस प्रकार है: \ny - y1 = m(x - x1) \nइस सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु A(1, -2) के साथ ढाल 2 का उपयोग करके रेखा का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं: \ny - (-2) = 2(x - 1) \ny + 2 = 2x - 2 \ny = 2x - 4 \nइसलिए, बिंदुओं A(1, -2) और B(3, 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y = 2x - 4 है।

Q3. केंद्र (2, 3) और व्यास 4 वाले वृत्त का समीकरण प्राप्त करें। 4 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त का समीकरण प्राप्त करने के लिए, हमें फ़ॉर्मूला (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 का उपयोग करना होगा, जहां (a, b) केंद्र और r व्यास है। \nमानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \nसरलीकरण करने पर, हमें मिलता है: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \nयह वृत्त का आवश्यक समीकरण है।

Q4. **सक्रिय 1: वृत्त का समीकरण** 5 Marks

उत्तर (Answer): **सिद्धांत और वृत्त का समीकरण** ### सिद्धांत \nकेंद्र (a, b) और व्यास r वाला वृत्त का समीकरण (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 द्वारा दिया जाता है। ### प्रमाण \nकेंद्र (a, b) और व्यास r वाले वृत्त पर कोई भी बिंदु P(x, y) हो। तो P केंद्र से किसी भी बिंदु की दूरी केंद्र से समान होती है। \nदूरी के सूत्र का उपयोग करके, हमें है: \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r \nदोनों ओर वर्ग करने से, हमें प्राप्त होता है: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \nयह वृत्त का आवश्यक समीकरण है। ### उदाहरण \nकेंद्र (2, 3) और व्यास 4 वाले वृत्त का समीकरण प्राप्त करें।

Q5. निर्देशांक ज्यामिति में एक रेखाखंड के मध्य बिंदु की अवधारणा समझाइए और मध्य बिंदु सूत्र प्राप्त कीजिए। उपयोग को स्पष्ट करने के लिये एक उदाहरण भी दें। 2 Marks

उत्तर (Answer): निर्देशांक ज्यामिति में, **मध्य बिंदु** वह बिंदु है जो रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। यह दो अंत बिंदुओं के x‑निर्देशांक का औसत और y‑निर्देशांक का औसत होता है। **प्राप्ति**:\nएक रेखाखंड को मानिए जिसके अंत बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं। मान लीजिए मध्य बिंदु $M(x, y)$ है। चूँकि M रेखाखंड को 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है, इसलिए हम अनुभाग सूत्र को $m = n = 1$ के साथ लागू करते हैं: \[ x = \frac{1\cdot x_2 + 1\cdot x_1}{1+1} = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{1\cdot y_2 + 1\cdot y_1}{1+1} = \frac{y_1 + y_2}{2}. \]\nइस प्रकार **मध्य बिंदु सूत्र** प्राप्त होता है: \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right). \] **उदाहरण**: रेखाखंड के अंत बिंदु $C( -3, 5)$ और $D(7, -1)$ के मध्य बिंदु को निकालिए। 1. x‑निर्देशांक निकालें: $\frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$. 2. y‑निर्देशांक निकालें: $\frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.\nअतः मध्य बिंदु M का निर्देशांक $(2, 2)$ है। यह उदाहरण दर्शाता है कि सूत्र का उपयोग करके किसी भी रेखाखंड का सटीक मध्य बिंदु जल्दी से प्राप्त किया जा सकता है। \nयह अवधारणा कई समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण है, जैसे कि रेखा का केन्द्र निकालना, लम्बवत द्विभाजक बनाना, तथा विश्लेषणात्मक ज्यामिति के प्रमाणों में।

Q6. उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(2,3) और B(6,7) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है। 3 Marks

उत्तर (Answer): रेखाखंड को 3:2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक निकालने के लिए हम अनुभाग सूत्र का प्रयोग करते हैं। **अनुभाग सूत्र**: यदि बिंदु P(x, y) बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो \[ x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \quad y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \] \nयहाँ, m = 3, n = 2, $x_1 = 2, y_1 = 3$ तथा $x_2 = 6, y_2 = 7$ हैं। **कदम‑दर‑कदम गणना**: 1. x‑निर्देशांक निकालें: \[ x = \frac{3\times6 + 2\times2}{3+2} = \frac{18 + 4}{5} = \frac{22}{5} = 4.4 \] 2. y‑निर्देशांक निकालें: \[ y = \frac{3\times7 + 2\times3}{3+2} = \frac{21 + 6}{5} = \frac{27}{5} = 5.4 \] **परिणाम**: आवश्यक बिंदु P के निर्देशांक $(\frac{22}{5}, \frac{27}{5})$ या (4.4, 5.4) हैं।

Q7. निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र का क्या महत्व है? उदाहरणों के साथ समझाइए। 2 Marks

उत्तर (Answer): दूरी सूत्र निर्देशांक ज्यामिति में एक मूलभूत अवधारणा है, जिसका उपयोग निर्देशांक तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है। यह सूत्र पाइथागोरस के प्रमेय से प्राप्त किया गया है और इस प्रकार लिखा जाता है: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$। इस सूत्र के कई व्यावहारिक उपयोग हैं, जैसे भौतिकी, इंजीनियरिंग और वास्तुकला में। उदाहरण के तौर पर, इसे मानचित्र पर दो शहरों के बीच की दूरी, ग्राफ में किसी रेखा खंड की लंबाई, या किसी निर्देशांक प्रणाली में दो वस्तुओं के बीच की दूरी निकालने में प्रयोग किया जा सकता है। स्पष्ट करने के लिए, दो बिंदु A(2,3) और B(4,6) लें। दूरी सूत्र लगाकर दूरी प्राप्त होती है: $\sqrt{(4-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$। अतः बिंदु A और B के बीच की दूरी $\sqrt{13}$ इकाइयाँ है।

Q8. बिंदु (2, -3) से 5 इकाई की दूरी पर स्थित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो रेखा y = x + 1 पर स्थित है। 3 Marks

उत्तर (Answer): बिंदु (2, -3) से 5 इकाई की दूरी पर स्थित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए जो रेखा y = x + 1 पर स्थित है, हम दूरी के सूत्र और रेखा के समीकरण का उपयोग कर सकते हैं। दूरी का सूत्र इस प्रकार है: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), जहां (x1, y1) और (x2, y2) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं। हमें दिया गया है कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी 5 इकाई है, इसलिए हमें लिख सकते हैं: 5 = √((x2 - 2)^2 + (y2 + 3)^2). हमें यह भी दिया गया है कि बिंदु रेखा y = x + 1 पर स्थित है, इसलिए हमें y2 = x2 + 1 को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें मिलता है: 5 = √((x2 - 2)^2 + (x2 + 4)^2). विस्तार और सरलीकरण करने पर, हमें मिलता है: 25 = 2x2^2 + 8x2 + 16। पदों को फिर से व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है: 2x2^2 + 8x2 - 9 = 0। इस बाईक्वाड्रेटिक समीकरण को हल करने पर, हमें मिलता है: x2 = -4 या x2 = 9/2। क्योंकि बिंदु रेखा y = x + 1 पर स्थित है, हमें x2 = 9/2 को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और y2 का मान प्राप्त कर सकते हैं: y2 = 9/2 + 1 = 11/2। इसलिए, बिंदु के निर्देशांक हैं (9/2, 11/2).

Q9. बिंदुओं (3, 2) और (6, 4) के बीच की दूरी ज्ञात करें। 2 Marks

उत्तर (Answer): बिंदुओं (3, 2) और (6, 4) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जो इस प्रकार है: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), जहां (x1, y1) और (x2, y2) दो बिंदुओं के निर्देशांक हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें d = √((6 - 3)^2 + (4 - 2)^2) = √(3^2 + 2^2) = √(9 + 4) = √13 मिलता है। इसलिए, बिंदुओं (3, 2) और (6, 4) के बीच की दूरी √13 है।

Q10. कोणीय राशि x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 द्वारा x-आक्ष पर काटी गई दूरी की लंबाई ज्ञात कीजिए। 2 Marks

उत्तर (Answer): कोणीय राशि x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 द्वारा x-आक्ष पर काटी गई दूरी की लंबाई है जहां कोणीय राशि x-आक्ष पर बिंदुओं के बीच की दूरी है। बिंदुओं को (a, 0) और (b, 0) कहें तो कोणीय राशि का समीकरण a^2 - 6a - 12 = 0 और b^2 - 6b - 12 = 0 है। इन समीकरणों को हल करने पर, हमें a = 6 और b = -2 मिलते हैं। इसलिए, काटी गई दूरी की लंबाई |6 - (-2)| = 8 इकाइयाँ है।

Q11. बिंदुओं (2, 3) और (-1, -2) से गुजरने वाली कोणीय राशि का समीकरण ज्ञात कीजिए। 2 Marks

उत्तर (Answer): बिंदुओं (2, 3) और (-1, -2) से गुजरने वाली कोणीय राशि का समीकरण है (x - 1)(x + 1) + (y - 2)(y + 2) = 0। इसे फिर x^2 + y^2 - 3 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

Q12. रेखा x = 2y + 1 पर स्थित बिंदु के समन्वय ज्ञात कीजिए जो मूल से 5 इकाइयों की दूरी पर है। 2 Marks

उत्तर (Answer): रेखा x = 2y + 1 पर स्थित बिंदु जो मूल से 5 इकाइयों की दूरी पर है, के समन्वय हैं left( \frac{9}{5}, \frac{2}{5} \right).

Q13. रेखाओं 2x - 3y + 5 = 0 और 2x - 3y - 7 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। 2 Marks

उत्तर (Answer): रेखाओं 2x - 3y + 5 = 0 और 2x - 3y - 7 = 0 के बीच की दूरी है \frac{|-7 - 5|}{sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{12}{sqrt{13}}.

Q14. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1, -2) से गुजरती है और रेखा 2x - 5y + 3 = 0 के समानांतर है। 2 Marks

उत्तर (Answer): बिंदु (1, -2) से गुजरती हुई और रेखा 2x - 5y + 3 = 0 के समानांतर रेखा का समीकरण है y + 2 = \frac{2}{5}(x - 1)। इसे फिर 2x - 5y - 9 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

Q15. बिंदुओं (1, 2) और (3, 4) के माध्यम से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें। 1 Marks

उत्तर (Answer): बिंदुओं (1, 2) और (3, 4) के माध्यम से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित विधि से प्राप्त किया जा सकता है: y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1), जहाँ (x1, y1) = (1, 2) और (x2, y2) = (3, 4)। मान्य के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें प्राप्त होता है: y - 2 = (4 - 2)/(3 - 1) * (x - 1) = 2/2 * (x - 1) = (x - 1)। सरलीकरण करने पर, हमें प्राप्त होता है: y - 2 = x - 1। दोनों ओर 2 जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: y = x + 1।

निर्देशांक ज्यामिति

समन्वित ज्यामिति

संक्षिप्त परिचय

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

महत्वपूर्ण सूत्र

महत्वपूर्ण नियम

महत्वपूर्ण उदाहरण

महत्वपूर्ण प्रश्न

महत्वपूर्ण विवरण