वृत्त

Q1. एक खंड द्वारा गुंथित कोण और केंद्रीय कोण के बीच संबंध क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त के केंद्र पर एक खंड द्वारा गुंथित कोण वृत्त के किसी भी बिंदु पर एक ही खंड द्वारा गुंथित कोण के दोगुने होता है। यह संबंध ज्यामिति और त्रिकोणमिति में एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है, जिसे अंकित कोण सिद्धांत कहा जाता है।

Q2. वृत्त के चौरो की लंबाई के लिए सूत्र क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त के चौरो की लंबाई के लिए सूत्र c = 2√(r^2 - d^2) है, जहां c चौरो की लंबाई है, r वृत्त का व्यास है, और d वृत्त के केंद्र से चौरो के समांतर दूरी है। यह सूत्र पाइथागोरस सिद्धांत से प्राप्त होता है और ज्यामिति और त्रिकोणमिति में एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है।

Q3. वृत्त के चौरो और स्पर्शरेखा के बीच अंतर क्या है? 1 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त का स्पर्शरेखा वह सीधी रेखा है जो वृत्त को एक ही बिंदु पर छूती है, जबकि चौरो वह सीधी रेखा सेगमेंट है जो वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ता है। स्पर्शरेखा और चौरो के बीच का मुख्य अंतर यह है कि स्पर्शरेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर नहीं छूती है, जबकि चौरो वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ता है। यह अंतर ज्यामिति में महत्वपूर्ण है और गणित और वास्तविक जीवन के संदर्भों में कई अनुप्रयोगों का उपयोग करता है।

Q4. वृत्त के क्षेत्रफल के कोण के लिए सूत्र क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त के क्षेत्रफल के कोण के लिए सूत्र A = (θ / 360) × πr^2 है, जहां θ वृत्त के कोण का केंद्रीय कोण है और r वृत्त का व्यास है। यह सूत्र यह तथ्य से प्राप्त होता है कि कोण का क्षेत्रफल केंद्रीय कोण और व्यास के वर्ग के अनुपात में होता है। कोण का क्षेत्रफल इस सूत्र का उपयोग करके गणना किया जा सकता है, और यह ज्यामिति और त्रिकोणमिति में एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है।

Q5. चौरो का अर्थ क्या है? 2 Marks

उत्तर (Answer): चौरो एक वृत्त का एक सीधी रेखा सेगमेंट है जिसके अंतिम बिंदु दोनों वृत्त के परिधि पर पड़ते हैं। यह एक रेखा सेगमेंट है जो वृत्त के परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ता है। चौरो की लंबाई कोई भी हो सकती है, और यह वृत्त का हिस्सा हो सकता है या इसका स्पर्शरेखा हो सकता है। चौरो ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है, और यह गणित और वास्तविक जीवन के संदर्भों में कई अनुप्रयोगों का उपयोग करता है।

Q6. वृत्त के केंद्र से वृत्त के स्पर्श बिंदु तक जाने वाली रेखा का नाम क्या है? 1 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त के केंद्र से वृत्त के स्पर्श बिंदु तक जाने वाली रेखा को व्यास कहा जाता है।

Q7. वृत्त के क्षेत्रफल का निर्धारण करने के लिए सूत्र क्या है? 1 Marks

उत्तर (Answer): वृत्त के क्षेत्रफल का निर्धारण करने के लिए सूत्र A = πr^2 है, जहां A क्षेत्रफल और r वृत्त का व्यास है।

Q8. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है। साथ ही, $5\text{ सेमी}$ त्रिज्या वाले वृत्त की $8\text{ सेमी}$ लंबी जीवा की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए और संबंधित स्पर्श रेखाओं के गुणों की गणना कीजिए। 5 Marks

उत्तर (Answer): ### प्रमेय की उपपत्ति: **दिया गया है:** केंद्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $P$, और दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ जो वृत्त को क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। **सिद्ध करना है:** $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ **उपपत्ति:** * **त्रिज्या-स्पर्श रेखा लंबवतता:** हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए, $OA \perp PA$ और $OB \perp PB$ है। इसका अर्थ है कि $\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$ है। * **चतुर्भुज का कोण योग गुण:** चतुर्भुज $PAOB$ पर विचार कीजिए। चतुर्भुज के सभी अंतःकोणों का योग $360^\circ$ होता है। $$\angle APB + \angle OAP + \angle AOB + \angle OBP = 360^\circ$$ * **मान प्रतिस्थापित करना:** समीकरण में $\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$ रखने पर: $$\angle APB + 90^\circ + \angle AOB + 90^\circ = 360^\circ$$ $$\angle APB + \angle AOB + 180^\circ = 360^\circ$$ * **सरलीकरण:** $$\angle APB + \angle AOB = 360^\circ - 180^\circ$$ $$\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$$ * अतः, दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण संपूरक होते हैं। सिद्ध हुआ। --- ### आंकिक प्रश्न: **दी गई जानकारी:** * वृत्त की त्रिज्या ($r$) $= 5\text{ सेमी}$ * जीवा की लंबाई ($AB$) $= 8\text{ सेमी}$ **ज्ञात करना है:** * केंद्र से जीवा की दूरी ($OM$)। **चरण-दर-चरण हल:** 1. मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $AB$ लंबाई $8\text{ सेमी}$ की जीवा है। 2. केंद्र $O$ से जीवा $AB$ पर एक लंब $OM$ खींचिए। 3. हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए: $$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ सेमी}$| 4. त्रिज्या $OA$ बनाने के लिए केंद्र $O$ को बिंदु $A$ से मिलाइए। यहाँ, $OA = 5\text{ सेमी}$ है। 5. यह एक समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ बनाता है, जिसमें $M$ पर समकोण है (चूँकि $OM \perp AB$ है)। 6. समकोण त्रिभुज $\triangle OMA$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: $$OA^2 = OM^2 + AM^2$$ 7. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $$5^2 = OM^2 + 4^2$$ $$25 = OM^2 + 16$$ 8. $OM^2$ का मान ज्ञात करने के लिए: $$OM^2 = 25 - 16$$ $$OM^2 = 9$$ 9. वर्गमूल लेने पर: $$OM = \sqrt{9} = 3\text{ सेमी}$| **उत्तर:**\nवृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी $3\text{ सेमी}$ है।

Q9. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। साथ ही, इस प्रमेय का उपयोग करके $7\text{ सेमी}$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से $25\text{ सेमी}$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु $Q$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए। 5 Marks

उत्तर (Answer): ### प्रमेय की उपपत्ति: **दिया गया है:** केंद्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $P$, और बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $PR$ जो क्रमशः बिंदुओं $Q$ और $R$ पर स्पर्श करती हैं। **सिद्ध करना है:** $PQ = PR$ **रचना:** $OP$, $OQ$ और $OR$ को मिलाइए। **उपपत्ति:** * हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। अतः $\angle OQP = 90^\circ$ और $\angle ORP = 90^\circ$ है। * दोनों समकोण त्रिभुजों $\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ पर विचार कीजिए। * इन त्रिभुजों में: * $OQ = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) * $OP = OP$ (उभयनिष्ठ कर्ण) * $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ (समकोण) * इसलिए, RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, $\triangle OQP \cong \triangle ORP$ है। * परिणामस्वरूप, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) द्वारा, हमें $PQ = PR$ प्राप्त होता है। * अतः, सिद्ध हुआ। --- ### आंकिक प्रश्न: **दी गई जानकारी:** * वृत्त की त्रिज्या ($r$ या $OQ$) $= 7\text{ सेमी}$ * केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी ($OP$) $= 25\text{ सेमी}$ **ज्ञात करना है:** * स्पर्श रेखा की लंबाई ($PQ$) **चरण-दर-चरण हल:** 1. प्रमेय के अनुसार, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए $\triangle OQP$ एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें $Q$ पर समकोण है ($\angle OQP = 90^\circ$)। 2. समकोण त्रिभुज $\triangle OQP$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: $$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$$ 3. समीकरण में दिए गए मान रखने पर: $$25^2 = 7^2 + PQ^2$$ $$625 = 49 + PQ^2$$ 4. $PQ^2$ का मान ज्ञात करने के लिए पक्षांतर करने पर: $$PQ^2 = 625 - 49$$ $$PQ^2 = 576$$ 5. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $$PQ = \sqrt{576} = 24\text{ सेमी}$$ **उत्तर:**\nस्पर्श रेखा की लंबाई $24\text{ सेमी}$ है।

Q10. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज $ABCD$ खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$ है। इसके अतिरिक्त, यदि एक वृत्त एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है, तो सिद्ध कीजिए कि वह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है। 5 Marks

उत्तर (Answer): ### भाग 1: सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$ **प्रमेय और उपपत्ति:**\nहम जानते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। \nमाना वृत्त भुजाओं $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ को क्रमशः बिंदुओं $P$, $Q$, $R$ और $S$ पर स्पर्श करता है। 1. बाह्य बिंदु $A$ से: $AP = AS \quad \text{--- (1)}$ 2. बाह्य बिंदु $B$ से: $BP = BQ \quad \text{--- (2)}$ 3. बाह्य बिंदु $C$ से: $CR = CQ \quad \text{--- (3)}$ 4. बाह्य बिंदु $D$ से: $DR = DS \quad \text{--- (4)}$ \nसमीकरण (1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर: $$(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$$ \nचित्र से रेखाखंडों को देखने पर: - $AP + BP = AB$ - $CR + DR = CD$ - $AS + DS = AD$ - $BQ + CQ = BC$ \nमान रखने पर: $$AB + CD = AD + BC$$ *(अतः भाग 1 सिद्ध हुआ)* --- ### भाग 2: सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है **दिया है:** - $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। - एक वृत्त $ABCD$ की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। **सिद्ध करना है:** - $ABCD$ एक समचतुर्भुज है (अर्थात $AB = BC = CD = DA$)। **उपपत्ति:** 1. चूकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है, इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं: - $AB = CD \quad \text{--- (A)}$ - $AD = BC \quad \text{--- (B)}$ 2. भाग 1 से, हम जानते हैं कि: $$AB + CD = AD + BC$$ 3. समीकरण (A) और (B) का उपयोग करने पर: $$AB + AB = AD + AD \implies 2AB = 2AD \implies AB = AD$$ 4. चूंकि $AB = CD$ और $AB = AD$, इसलिए सभी भुजाएँ बराबर हैं ($AB = BC = CD = DA$)। 5. अतः समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

Q11. सिद्ध कीजिए कि 'किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।' इस गुण का उपयोग करके हल कीजिए: यदि $PA$ और $PB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर एक बाह्य बिंदु $P$ से इस प्रकार स्पर्श रेखाएँ हैं कि $\angle APB = 70^\circ$ है, तो $\angle OAB$ ज्ञात कीजिए। 5 Marks

उत्तर (Answer): ### प्रमेय की उपपत्ति: **दिया है:** केंद्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $P$, और $P$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ जो क्रमशः $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। **सिद्ध करना है:** $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ **उपपत्ति:** 1. चतुर्भुज $PAOB$ में, स्पर्श रेखाएँ $PA$, $PB$ और त्रिज्याएँ $OA$, $OB$ हैं। 2. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या लंब होती है, अतः $\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$ है। 3. चतुर्भुज के चारों कोणों का योग $360^\circ$ होता है: $$\angle APB + \angle AOB + \angle OAP + \angle OBP = 360^\circ$$ 4. मान रखने पर: $$\angle APB + \angle AOB + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \implies \angle APB + \angle AOB = 180^\circ$$ ### संख्यात्मक हल: **दिया है:** $\angle APB = 70^\circ$ **चरण 1: $\angle AOB$ ज्ञात करना** $$\angle APB + \angle AOB = 180^\circ \implies 70^\circ + \angle AOB = 180^\circ \implies \angle AOB = 110^\circ$$ **चरण 2: $\triangle OAB$ में विचार करना** - $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), अतः $\angle OAB = \angle OBA$ है। - त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है: $$\angle OAB + \angle OAB + 110^\circ = 180^\circ \implies 2 \cdot \angle OAB = 70^\circ \implies \angle OAB = 35^\circ$$ **उत्तर:** $\angle OAB = 35^\circ$

Q12. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। इस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक त्रिभुज $ABC$ का परिमाप ज्ञात कीजिए जो $4\text{ सेमी}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत है, यदि खंड $BD$ और $DC$ (जिसमें संपर्क बिंदु $D$ द्वारा $BC$ विभाजित होता है) की लंबाई क्रमशः $8\text{ सेमी}$ और $6\text{ सेमी}$ है। 5 Marks

उत्तर (Answer): ### प्रमेय की उपपत्ति: **दिया है:** केंद्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $P$, और $P$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $PR$ जो क्रमशः बिंदुओं $Q$ और $R$ को स्पर्श करती हैं। **सिद्ध करना है:** $PQ = PR$ **रचना:** $OP$, $OQ$ और $OR$ को मिलाइए। **उपपत्ति:** 1. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। अतः $\angle OQP = 90^\circ$ और $\angle ORP = 90^\circ$ है। 2. समकोण त्रिभुजों $\triangle OQP$ और $\triangle ORP$ में: - $OQ = OR$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) - $OP = OP$ (उभयनिष्ठ कर्ण) - $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ 3. RHS सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle OQP \cong \triangle ORP$ है। 4. अतः $PQ = PR$ (CPCTC द्वारा)। ### संख्यात्मक हल: **दिया है:** - वृत्त की त्रिज्या, $OD = OF = OE = 4\text{ सेमी}$ ($E$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर स्पर्श बिंदु हैं)। - $BD = 8\text{ सेमी} \implies BE = 8\text{ सेमी}$ ($B$ से स्पर्श रेखाएँ) - $DC = 6\text{ सेमी} \implies FC = 6\text{ सेमी}$ ($C$ से स्पर्श रेखाएँ) - माना $AE = AF = x$ ($A$ से स्पर्श रेखाएँ) **त्रिभुज की भुजाएँ:** - $AB = x + 8$ - $BC = BD + DC = 8 + 6 = 14\text{ सेमी}$ - $AC = x + 6$ **अर्ध-परिमाप ($s$):** $$s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{(x + 8) + 14 + (x + 6)}{2} = \frac{2x + 28}{2} = x + 14$$ **हीरोन के सूत्र द्वारा $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:** - क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ - $s - AB = 6$, $s - BC = x$, $s - AC = 8$ - $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{48x(x + 14)}$ **तीन त्रिभुजों के योग के रूप में क्षेत्रफल:** - $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (x + 8 + 14 + x + 6) \times 4 = 4x + 56$ **दोनों क्षेत्रफलों को बराबर करने पर:** $$\sqrt{48x(x + 14)} = 4(x + 14)$$\nवर्ग करने पर $x = 7\text{ सेमी}$ प्राप्त होता है। **$\triangle ABC$ का परिमाप:** $$\text{परिमाप} = 2(x + 14) = 2(7 + 14) = 42\text{ सेमी}$$

Q13. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज $ABCD$ खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$ है। 3 Marks

उत्तर (Answer): एक वृत्त के परिगत खींचे गए चतुर्भुज $ABCD$ के लिए $AB + CD = AD + BC$ सिद्ध करने के लिए, हम बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई के उस मौलिक प्रमेय का उपयोग करते हैं जिसके अनुसार किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। \nमान लीजिए वृत्त भुजाओं $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ को क्रमशः बिंदुओं $P$, $Q$, $R$ और $S$ पर स्पर्श करता है। \nप्रमेय के अनुसार: - बाह्य बिंदु $A$ से: $AP = AS$ (समीकरण 1) - बाह्य बिंदु $B$ से: $BP = BQ$ (समीकरण 2) - बाह्य बिंदु $C$ से: $CR = CQ$ (समीकरण 3) - बाह्य बिंदु $D$ से: $DR = DS$ (समीकरण 4) \nअब, समीकरण 1, 2, 3 और 4 को आपस में जोड़ने पर: $(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$ \nचित्र से, हम देखते हैं कि: - $AP + BP = AB$ - $CR + DR = CD$ - $AS + DS = AD$ - $BQ + CQ = BC$ \nइन लंबाइयों को अपने योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $AB + CD = AD + BC$ \nअतः सिद्ध होता है कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

Q14. एक बिंदु $P$ किसी वृत्त के केंद्र से $25\text{ सेमी}$ की दूरी पर है। $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $24\text{ सेमी}$ है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। 3 Marks

उत्तर (Answer): दिया गया है: - वृत्त के केंद्र $O$ से बिंदु $P$ की दूरी, $OP = 25\text{ सेमी}$ - $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई, $PT = 24\text{ सेमी}$ (जहाँ $T$ स्पर्श बिंदु है) \nज्ञात करना है: - वृत्त की त्रिज्या, $OT = ?$ \nचरण-दर-चरण हल: 1. हम जानते हैं कि वृत्त के स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए, $OT \perp PT$, जिसका अर्थ है कि $\angle OTP = 90^\circ$ है। 2. समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं: $$OP^2 = OT^2 + PT^2$$ 3. समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: $$25^2 = OT^2 + 24^2$$ 4. वर्गों की गणना करें: $$625 = OT^2 + 576$$ 5. $OT^2$ के लिए हल करने हेतु पक्षांतर करें: $$OT^2 = 625 - 576$$ $$OT^2 = 49$$ 6. दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: $$OT = \sqrt{49} = 7\text{ सेमी}$$ \nउत्तर:\nवृत्त की त्रिज्या $7\text{ सेमी}$ है।

Q15. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज $ABCD$ खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$ है। 3 Marks

उत्तर (Answer): एक वृत्त के परिगत खींचे गए चतुर्भुज $ABCD$ के लिए $AB + CD = AD + BC$ सिद्ध करने के लिए, हम इस मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। मान लीजिए वृत्त भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ को क्रमशः बिंदु $P, Q, R$ और $S$ पर स्पर्श करता है। बाह्य बिंदु $A$ से, स्पर्श रेखाएँ $AP$ और $AS$ हैं, इसलिए $AP = AS$ (समीकरण 1)। बिंदु $B$ से, स्पर्श रेखाएँ $BP$ और $BQ$ हैं, इसलिए $BP = BQ$ (समीकरण 2)। बिंदु $C$ से, स्पर्श रेखाएँ $CQ$ और $CR$ हैं, इसलिए $CQ = CR$ (समीकरण 3)। बिंदु $D$ से, स्पर्श रेखाएँ $DR$ और $DS$ हैं, इसलिए $DR = DS$ (समीकरण 4)। अब, सभी चारों समीकरणों को जोड़ने पर: $(AP + BP) + (CQ + DR) = (AS + DS) + (BQ + CR)$ प्राप्त होता है। चित्र को देखने पर, $AP + BP = AB$ और $CQ + DR = CD$ है, इसलिए बायां पक्ष $AB + CD$ बन जाता है। इसी प्रकार, दाएं पक्ष पर, $AS + DS = AD$ और $BQ + CR = BC$ है, इसलिए दायां पक्ष $AD + BC$ बन जाता है। अतः, इन परिणामों को मिलाने पर $AB + CD = AD + BC$ प्राप्त होता है, जिससे आवश्यक उपपत्ति पूरी होती है।

वर्ग 10 गणित – अध्याय : वृत्त

1. परिभाषाएँ

2. मूलभूत गुण

3. मुख्य सूत्र

4. संक्षिप्त सारांश