मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 6 गणित - अध्याय: संख्याओं के साथ खेलना (Quick Revision Notes)
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1. गुणनखंड और गुणज (Factors and Multiples)
- गुणनखंड (Factor): किसी संख्या का गुणनखंड उसका एक पूरा-पूरा विभाजक (exact divisor) होता है।
- उदाहरण: $12$ के गुणनखंड = $1, 2, 3, 4, 6, 12$
- महत्वपूर्ण तथ्य:
- $1$ प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है।
- प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होती है।
- किसी संख्या के गुणनखंडों की संख्या सीमित (permissible/finite) होती है।
- किसी संख्या का प्रत्येक गुणनखंड उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।
- गुणज (Multiple): किसी संख्या को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर प्राप्त संख्याएँ उस संख्या के गुणज कहलाती हैं।
- उदाहरण: $5$ के गुणज = $5, 10, 15, 20, 25, ...$
- महत्वपूर्ण तथ्य:
- प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज होती है।
- किसी संख्या के गुणजों की संख्या अपरिमित (infinite) होती है।
- किसी संख्या का प्रत्येक गुणज उस संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है।
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2. संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)
- अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): वे संख्याएँ जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं — $1$ और वह संख्या स्वयं।
- उदाहरण: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...$
- भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers): वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
- उदाहरण: $4, 6, 8, 9, 10, 12, ...$
- विशेष बिंदु:
- संख्या $1$ न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।
- $2$ सबसे छोटी अभाज्य संख्या है और यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
- $2$ को छोड़कर अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।
- सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers): दो संख्याएँ जिनमें केवल $1$ ही सार्व/सामान्य गुणनखंड हो।
- उदाहरण: $4$ और $15$ (क्योंकि इनमें केवल $1$ ही उभयनिष्ठ गुणनखंड है)।
- जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ (Twin Primes): ऐसी दो अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच का अंतर $2$ हो।
- उदाहरण: $(3, 5)$, $(5, 7)$, $(11, 13)$
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3. विभाज्यता की जाँच के नियम (Rules of Divisibility)
- 2 से विभाज्यता: यदि संख्या का इकाई अंक $0, 2, 4, 6,$ या $8$ हो।
- 3 से विभाज्यता: यदि संख्या के सभी अंकों का योग $3$ से विभाजित हो।
- 4 से विभाज्यता: यदि अंतिम दो अंकों (इकाई और दहाई) से बनी संख्या $4$ से विभाजित हो।
- 5 से विभाज्यता: यदि संख्या का इकाई अंक $0$ या $5$ हो।
- 6 से विभाज्यता: यदि संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाजित होती हो।
- 8 से विभाज्यता: यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या $8$ से विभाजित हो।
- 9 से विभाज्यता: यदि संख्या के सभी अंकों का योग $9$ से विभाजित हो।
- 10 से विभाज्यता: यदि संख्या का इकाई अंक $0$ हो।
- 11 से विभाज्यता: यदि विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर $0$ हो या $11$ का गुणज हो।
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4. अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization)
जब किसी संख्या को केवल उसकी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो उसे अभाज्य गुणनखंडन कहते हैं।
- उदाहरण: $24$ का अभाज्य गुणनखंडन =
2 × 2 × 2 × 3
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5. महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य (HCF and LCM)
- महत्तम समापवर्तक - म.स. (HCF - Highest Common Factor):
- दो या अधिक दी गई संख्याओं के सार्व (सामान्य) गुणनखंडों में सबसे बड़ा गुणनखंड म.स. (HCF) कहलाता है।
- इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है।
- लघुत्तम समापवर्त्य - ल.स. (LCM - Lowest Common Multiple):
- दो या अधिक दी गई संख्याओं के सार्व गुणजों में सबसे छोटा गुणज ल.स. (LCM) कहलाता है।
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6. मुख्य सूत्र (Key Formulas)
$$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = \text{HCF} \times \text{LCM}$$
$$\text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} = \text{म.स.} \times \text{ल.स.}$$
$$\text{HCF} = \frac{\text{दो संख्याओं का गुणनफल}}{\text{LCM}}$$
$$\text{LCM} = \frac{\text{दो संख्याओं का गुणनफल}}{\text{HCF}}$$
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7. परीक्षा के लिए त्वरित सुझाव (Quick Tips)
1. दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं का HCF हमेशा $1$ होता है। (उदा. $4$ और $5$ का HCF = $1$)
2. दो लगातार सम संख्याओं का HCF हमेशा $2$ होता है। (उदा. $6$ और $8$ का HCF = $2$)
3. दो अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा $1$ होता है और उनका LCM उन दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है।
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 अध्याय: संख्याओं के साथ खेलना
गुणनखंड और गुणज
गुणनखंड (Factors)
दी गई संख्या को पूरा विभाजित करने वाली संख्याएँ
1 और स्वयं संख्या हमेशा गुणनखंड होते हैं
गुणनखंडों की संख्या सीमित होती है
गुणज (Multiples)
संख्या का पहाड़ा (गुणनफल)
गुणजों की संख्या असीमित होती है
संख्या स्वयं का सबसे पहला गुणज होती है
संख्याओं के प्रकार
अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)
केवल 2 गुणनखंड: 1 और स्वयं वह संख्या
उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11
2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है
भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers)
2 से अधिक गुणनखंड वाली संख्याएँ
उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10
संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य
सम और विषम संख्याएँ
सम संख्या: 2 से पूर्णतः विभाज्य (इकाई अंक: 0, 2, 4, 6, 8)
विषम संख्या: 2 से विभाज्य नहीं (इकाई अंक: 1, 3, 5, 7, 9)
सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers)
जिन दो संख्याओं का उभयनिष्ठ (Common) गुणनखंड केवल 1 हो
उदाहरण: (2, 3), (8, 9)
विभाज्यता की जाँच के नियम
2 से: इकाई का अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो
3 से: सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य हो
4 से: अंतिम दो अंकों (इकाई और दहाई) से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो
5 से: इकाई का अंक 0 या 5 हो
6 से: संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो
8 से: अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो
9 से: सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य हो
10 से: इकाई का अंक 0 हो
11 से: विषम और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो
अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization)
संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में व्यक्त करना
मुख्य विधियाँ:
गुणनखंड वृक्ष विधि (Factor Tree Method)
विभाजन विधि (Division Method)
महत्तम समापवर्तक - म.स.प. (HCF)
दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा साझा गुणनखंड
ज्ञात करने की विधियाँ:
अभाज्य गुणनखंडन विधि
विभाजन विधि
उपयोग: अधिकतम माप या बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करने में
लघुत्तम समापवर्त्य - ल.स.प. (LCM)
दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा साझा गुणज
ज्ञात करने की विधियाँ:
अभाज्य गुणनखंडन विधि
साझा विभाजन विधि
उपयोग: एक साथ पुनः घटित होने वाले समय (जैसे घंटियाँ, ट्रैफिक लाइट) के लिए
म.स.प. और ल.स.प. का संबंध
दो संख्याओं का गुणनफल = (म.स.प.) × (ल.स.प.)
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): 24 और 36 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए:
1. 24 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2. 36 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. उभयनिष्ठ (सार्व) गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
\nइनमें सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड **12** है। अतः 24 और 36 का HCF **12** है।
उत्तर (Answer): सही विकल्प **A** है। 6 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह **2 और 3** दोनों से विभाज्य हो, क्योंकि 2 और 3, 6 के अभाज्य गुणनखंड हैं।
उत्तर (Answer): सही विकल्प **B** है। सह-अभाज्य संख्याएँ ऐसी संख्याओं का युग्म होती हैं जिनमें 1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है। इसलिए, दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा **1** होता है।
उत्तर (Answer): विभाज्यता के नियम के अनुसार, यदि कोई संख्या दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है, तो वह उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है।
\nचूँकि 2 और 3 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए जो संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, वह $2 \times 3 = 6$ से भी हमेशा विभाज्य होगी। यह 6 का विभाज्यता नियम भी है।
उत्तर (Answer): संख्या 1 का केवल एक ही गुणनखंड होता है, जो कि स्वयं 1 है।
- अभाज्य संख्या के ठीक दो अलग-अलग गुणनखंड होने चाहिए (1 और वह स्वयं)।
- भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होने चाहिए।
\nइसलिए, 1 **न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या**।
उत्तर (Answer): 12 और 15 का LCM निकालने के लिए उनके अभाज्य गुणनखंड लिखें:
- $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
- $15 = 3 \times 5$
\nप्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लें:
$$\text{LCM} = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$$
उत्तर (Answer): HCF ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें:
- $20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$
- $28 = 2 \times 2 \times 7 = 2^2 \times 7$
- $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
\nउभयनिष्ठ (सामान्य) अभाज्य गुणनखंड $2 \times 2 = 4$ है।\nअतः, $\text{HCF}(20, 28, 36) = 4$ है।
उत्तर (Answer): यदि दो संख्याओं में 1 के अलावा कोई अन्य सार्व गुणनखंड (common factor) नहीं होता है, तो उन्हें **सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime numbers)** कहा जाता है।
\nउदाहरण के लिए, 4 और 9 सह-अभाज्य हैं क्योंकि:
- 4 के गुणनखंड: 1, 2, 4
- 9 के गुणनखंड: 1, 3, 9
- सार्व गुणनखंड = 1
उत्तर (Answer): सही उत्तर **जुड़वाँ अभाज्य (Twin primes)** है।
**व्याख्या:**
- अभाज्य संख्याओं का ऐसा युग्म जिनका अंतर 2 होता है, जुड़वाँ अभाज्य (Twin primes) कहलाता है।
- उदाहरण: (3, 5), (5, 7), (11, 13)।
उत्तर (Answer): सही उत्तर **दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर** है।
**व्याख्या:**
- किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए संबंध होता है:
$$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$$
- इसलिए, HCF और LCM का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
उत्तर (Answer): सही उत्तर **2** है।
**व्याख्या:**
- ज्ञात अंकों का योग = $4 + 7 + 2 = 13$।
- $13 + *$ को 3 से विभाज्य बनाने के लिए, 3 का अगला गुणज 15 है।
- इसलिए, $* = 15 - 13 = 2$।
- * के स्थान पर 2 रखने से संख्या 4722 बनती है, जिसके अंकों का योग $4+7+2+2=15$ है, जो 3 से विभाज्य है।
उत्तर (Answer): सही उत्तर **9** है।
**व्याख्या:**
- 9 की विभाज्यता के नियमानुसार, यदि किसी संख्या के सभी अंकों का योग 9 का गुणज (9 से विभाज्य) है, तो वह संख्या स्वयं भी 9 से विभाज्य होती है।
उत्तर (Answer): सही उत्तर **6** है।
**व्याख्या:**
- 6 के गुणनखंड 1, 2, 3, और 6 हैं।
- गुणनखंडों का योग = $1 + 2 + 3 + 6 = 12$।
- चूँकि $12 = 2 \times 6$ (संख्या का दोगुना) है, इसलिए 6 एक संपूर्ण संख्या (Perfect Number) है।
उत्तर (Answer): सही उत्तर **24** है।
**व्याख्या:**
- 4 के गुणज = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
- 8 के गुणज = 8, 16, 24, 32...
- 12 के गुणज = 12, 24, 36...
- सबसे छोटा सार्व गुणज = 24 है।
- अतः, $\text{LCM}(4, 8, 12) = 24$ है।
उत्तर (Answer): सही उत्तर **6** है।
**व्याख्या:**
- 12 का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 2 \times 3$
- 18 का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 3 \times 3$
- उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड = $2 \times 3 = 6$
- अतः, $\text{HCF}(12, 18) = 6$ है।