पूर्णांक

कक्षा ७ गणित: पूर्णांक (Integers) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स

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### परिचय और परिभाषा (Introduction & Definition)

• पूर्णांक (Integers): पूर्ण संख्याओं (Whole Numbers) और उनकी ऋणात्मक संख्याओं (Negative numbers) के संग्रह को पूर्णांक कहते हैं।
• इसे ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... से दर्शाया जाता है।
• धनात्मक पूर्णांक (Positive Integers): 1, 2, 3, 4, ... (शून्य से बड़े)
• ऋणात्मक पूर्णांक (Negative Integers): -1, -2, -3, -4, ... (शून्य से छोटे)
• शून्य (Zero): न तो धनात्मक पूर्णांक है और न ही ऋणात्मक पूर्णांक। यह एक तटस्थ (neutral) पूर्णांक है।

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### संख्या रेखा पर निरूपण (Representation on Number Line)

• संख्या रेखा के बीच में 0 होता है।
• 0 के दाईं ओर धनात्मक पूर्णांक (+1, +2, +3...) होते हैं।
• 0 के बाईं ओर ऋणात्मक पूर्णांक (-1, -2, -3...) होते हैं।
• संख्या रेखा पर दाईं ओर चलने पर मान बढ़ता है और बाईं ओर चलने पर मान घटता है।

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### पूर्णांकों का योग और व्यवकलन (Addition & Subtraction of Integers)

1. समान चिह्न वाले पूर्णांक:

• यदि दोनों पूर्णांक धनात्मक हैं, तो जोड़ें और उत्तर में धन (+) चिह्न लगाएं।
• उदाहरण: (+5) + (+3) = +8
• यदि दोनों पूर्णांक ऋणात्मक हैं, तो संख्याओं को जोड़ें और उत्तर में ऋण (-) चिह्न लगाएं।
• उदाहरण: (-5) + (-3) = -8

2. विपरीत चिह्न वाले पूर्णांक:

• एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक होने पर, बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाएं और उत्तर में बड़ी संख्या का चिह्न लगाएं।
• उदाहरण: (-7) + (+4) = -3
• उदाहरण: (+9) + (-3) = +6

3. व्यवकलन (Subtraction):

• किसी पूर्णांक को घटाने का अर्थ है, उसके योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse) को जोड़ना।
• सूत्र: a - (b) = a + (-b)
• उदाहरण: 8 - (-3) = 8 + 3 = 11

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### गुणन के नियम (Rules of Multiplication)

दो पूर्णांकों का गुणा करते समय निम्नलिखित चिन्हों के नियमों का पालन किया जाता है:

1. धनात्मक पूर्णांक $\times$ धनात्मक पूर्णांक = धनात्मक पूर्णांक (+ $\times$ + = +)

• उदाहरण: (+4) \times (+3) = +12

2. ऋणात्मक पूर्णांक $\times$ ऋणात्मक पूर्णांक = धनात्मक पूर्णांक (- $\times$ - = +)

• उदाहरण: (-4) \times (-3) = +12

3. धनात्मक पूर्णांक $\times$ ऋणात्मक पूर्णांक = ऋणात्मक पूर्णांक (+ $\times$ - = -)

• उदाहरण: (+4) \times (-3) = -12

4. ऋणात्मक पूर्णांक $\times$ धनात्मक पूर्णांक = ऋणात्मक पूर्णांक (- $\times$ + = -)

• उदाहरण: (-4) \times (+3) = -12

• नोट: यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या सम (Even) है, तो गुणनफल धनात्मक होता है। यदि विषम (Odd) है, तो गुणनफल ऋणात्मक होता है।

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### भाग के नियम (Rules of Division)

पूर्णांकों के भाग के नियम भी गुणन के नियमों जैसे ही होते हैं:

1. (+) \div (+) = (+) (धनात्मक को धनात्मक से भाग देने पर)

2. (-) \div (-) = (+) (ऋणात्मक को ऋणात्मक से भाग देने पर)

3. (+) \div (-) = (-) (धनात्मक को ऋणात्मक से भाग देने पर)

4. (-) \div (+) = (-) (ऋणात्मक को धनात्मक से भाग देने पर)

• विशेष नियम:
• किसी पूर्णांक को 1 से भाग देने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है (a \div 1 = a)।
• किसी पूर्णांक को 0 से भाग देना परिभाषित नहीं है (a \div 0 अमान्य है)।
• 0 को किसी भी पूर्णांक (शून्य को छोड़कर) से भाग देने पर 0 प्राप्त होता है (0 \div a = 0)।

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### पूर्णांकों के गुण (Properties of Integers)

1. संवर्क गुण (Closure Property):

• योग के अंतर्गत: दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है। (a + b एक पूर्णांक है)
• व्यवकलन के अंतर्गत: दो पूर्णांकों का अंतर हमेशा एक पूर्णांक होता है। (a - b एक पूर्णांक है)
• गुणन के अंतर्गत: दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक पूर्णांक होता है। (a \times b एक पूर्णांक है)

2. क्रमविनिमेय गुण (Commutative Property):

• योग के लिए: a + b = b + a (उदाहरण: 2 + 3 = 3 + 2 = 5)
• गुणन के लिए: a \times b = b \times a (उदाहरण: 2 \times 3 = 3 \times 2 = 6)
• (नोट: यह गुण व्यवकलन और भाग के लिए लागू नहीं होता है।)

3. साचर्ये गुण (Associative Property):

• योग के लिए: (a + b) + c = a + (b + c)
• गुणन के लिए: (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

4. वितरण गुण (Distributive Property):

• गुणन का योग पर वितरण: a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)
• गुणन का व्यवकलन पर वितरण: a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)

5. योजक तत्समक (Additive Identity):

• 0 को किसी पूर्णांक में जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
• सूत्र: a + 0 = 0 + a = a (यहाँ 0 योजक तत्समक है)

6. गुणात्मक तत्समक (Multiplicative Identity):

• किसी पूर्णांक को 1 से गुणा करने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
• सूत्र: a \times 1 = 1 \times a = a (यहाँ 1 गुणात्मक तत्समक है)

7. योजक प्रतिलोम (Additive Inverse):

• किसी पूर्णांक a का योजक प्रतिलोम -a होता है, क्योंकि a + (-a) = 0।
• उदाहरण: 5 का योजक प्रतिलोम -5 है, और -7 का योजक प्रतिलोम +7 है।