कक्षा 7 गणित - त्वरित संशोधन नोट्स (Quick Revision Notes)
अध्याय: त्रिभुज और उसके गुण (The Triangle and its Properties)
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1. त्रिभुज क्या है? (What is a Triangle?)
- त्रिभुज एक ऐसा बंद आकृति (Closed figure) है जो तीन रेखाखंडों (Line segments) से मिलकर बनी होती है।
- इसमें 3 भुजाएँ (Sides), 3 कोण (Angles) और 3 शीर्ष (Vertices) होते हैं।
- यदि त्रिभुज की भुजाएँ $AB$, $BC$ और $AC$ हैं, तो इसे $\triangle ABC$ लिखा जाता है।
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2. त्रिभुजों के प्रकार (Types of Triangles)
#### (क) भुजाओं के आधार पर (Based on Sides):
1. विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle): जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है।
2. समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle): जिसकी कोई दो भुजाएँ बराबर होती हैं और बराबर भुजाओं के सामने के कोण भी बराबर होते हैं।
3. समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle): जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। इसके तीनों कोण भी बराबर (प्रत्येक $60^\circ$) होते हैं।
#### (ख) कोणों के आधार पर (Based on Angles):
1. न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle): जिसका प्रत्येक कोण $90^\circ$ से कम होता है।
2. समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle): जिसका एक कोण ठीक $90^\circ$ का होता है।
3. अधिककोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle): जिसका एक कोण $90^\circ$ से अधिक होता है।
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3. त्रिभुज के मुख्य रेखाखंड (Medians and Altitudes)
- माध्यिका (Median): त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड माध्यिका कहलाता है। एक त्रिभुज में 3 माध्यिकाएँ होती हैं।
- शीर्षलंब (Altitude): त्रिभुज के किसी शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा पर डाला गया लंब (90 अंश का कोण बनाने वाला रेखाखंड) शीर्षलंब कहलाता है। एक त्रिभुज में 3 शीर्षलंब होते हैं।
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4. त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण (Important Properties of Triangles)
#### (क) त्रिभुज का कोण योग गुण (Angle Sum Property):
- त्रिभुज के तीनों अंतःकोणों का योग हमेशा $180^\circ$ होता है।
- यदि त्रिभुज के कोण $\angle A$, $\angle B$ और $\angle C$ हैं, तो:
angle A + angle B + angle C = 180°
#### (ख) त्रिभुज का बहिष्कोण गुण (Exterior Angle Property):
- यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाया जाए, तो इस प्रकार बना बहिष्कोण (Exterior angle) अपने दोनों अंतः अभिमुख कोणों (Interior opposite angles) के योग के बराबर होता है।
- सूत्र:
बहिष्कोण = दूरस्थ अंतः कोणों का योग
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5. त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित नियम (Inequality Properties)
#### (क) त्रिभुज की असमानता का गुण (Triangle Inequality Theorem):
- त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से सदा अधिक होता है।
AB + BC > ACBC + AC > ABAC + AB > BC- (नोट: किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का अंतर तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है।)
#### (ख) पाइथागोरस गुण - समकोण त्रिभुज के लिए (Pythagoras Property):
केवल समकोण त्रिभुज में लागू होता है:
(कर्ण)^2 = (आधार)^2 + (लंब)^2- यदि कर्ण $= c$, आधार $= a$, और लंब $= b$ हो, तो:
c^2 = a^2 + b^2
- पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean Triplet): ऐसी तीन संख्याएँ जो इस नियम का पालन करती हैं (जैसे: 3, 4, 5)।
उत्तर (Answer): पाइथागोरस प्रमेय (a^2 + b^2 = c^2) का उपयोग करने पर: 6, 8, 10 के लिए -> 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, और 10^2 = 100। चूँकि 36 + 64 = 100 है, इसलिए 6, 8, 10 एक समकोण त्रिभुज बनाता है।