राशियों की तुलना

कक्षा 7 गणित: राशियों की तुलना (Comparing Quantities) - त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स

यह फॉर्मूला शीट और त्वरित पुनरावृत्ति नोट्स मध्य प्रदेश बोर्ड (MP Board) के पाठ्यक्रम के अनुसार छात्रों के लिए तैयार किए गए हैं।

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1. अनुपात (Ratio)

• परिभाषा: दो समान प्रकार की राशियों की तुलना को अनुपात कहते हैं।
• महत्वपूर्ण बिंदु:
• अनुपात की कोई इकाई (Unit) नहीं होती है।
• राशियों की तुलना करते समय दोनों की इकाइयाँ (जैसे - मीटर, किलोग्राम) समान होनी चाहिए।
• इसे : चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, $a$ और $b$ का अनुपात $a : b$ है।

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2. समतुल्य अनुपात (Equivalent Ratios)

• किसी अनुपात के अंश और हर दोनों में एक ही शून्येतर (Non-zero) संख्या से गुणा या भाग देने पर समतुल्य अनुपात प्राप्त होता है।
• उदाहरण: अनुपात $2 : 3$ का समतुल्य अनुपात $4 : 6$ या $6 : 9$ हो सकता है।

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3. प्रतिशतता (Percentage)

• प्रतिशत का अर्थ: 'प्रतिशत' (Percent) शब्द लैटिन शब्द 'Percentum' से लिया गया है जिसका अर्थ 'प्रति सौ' (per hundred) होता है। इसे % चिन्ह से दर्शाया जाता है।
• भिन्न या दशमलव को प्रतिशत में बदलना:
• किसी भी भिन्न या दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे $100$ से गुणा किया जाता है।
• सूत्र: $\text{प्रतिशत} = (\text{भिन्न}) \times 100\%$
• प्रतिशत को भिन्न या दशमलव में बदलना:
• प्रतिशत को हटाने के लिए $100$ से भाग दिया जाता है।
• सूत्र: $\text{भिन्न} = \frac{\text{प्रतिशत}}{100}$

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4. राशियों को प्रतिशत में बदलना

• यदि कुल मात्रा दी गई हो और उसका एक भाग दिया गया हो, तो उस भाग का प्रतिशत निकालने का सूत्र:
• $\text{प्रतिशत} = \left(\frac{\text{भाग}}{\text{कुल भाग}}\right) \times 100$

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5. प्रतिशत का उपयोग (Use of Percentages)

• दी गई राशि का प्रतिशत ज्ञात करना:
• किसी राशि का $P\%$ निकालने के लिए: $\text{राशि} \times \frac{P}{100}$
• अनुपात को प्रतिशत में बदलना:
• यदि अनुपात $a : b$ दिया गया है, तो कुल भाग $= a + b$
• पहला भाग प्रतिशत = $\left(\frac{a}{a + b}\right) \times 100$
• दूसरा भाग प्रतिशत = $\left(\frac{b}{a + b}\right) \times 100$

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6. क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य और लाभ-हानि (Cost Price, Selling Price, Profit & Loss)

• क्रय मूल्य (Cost Price - CP): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु खरीदी जाती है।
• विक्रय मूल्य (Selling Price - SP): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु बेची जाती है।
• लाभ (Profit): जब विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक हो ($SP > CP$)
• लाभ (Profit) = $SP - CP$
• हानि (Loss): जब क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य से अधिक हो ($CP > SP$)
• हानि (Loss) = $CP - SP$
• लाभ प्रतिशत (Profit %):
• $\text{लाभ } \% = \left(\frac{\text{लाभ}}{CP}\right) \times 100$
• हानि प्रतिशत (Loss %):
• $\text{हानि } \% = \left(\frac{\text{हानि}}{CP}\right) \times 100$
• (ध्यान दें: लाभ या हानि की गणना हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर ही की जाती है।)

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7. साधारण ब्याज (Simple Interest - SI)

• परिभाषा: जब किसी निश्चित धन (मूलधन) को एक निश्चित समय के लिए उधार दिया जाता है, तो उपयोग के एवज में चुकाया जाने वाला अतिरिक्त धन ब्याज कहलाता है। यदि ब्याज हर वर्ष मूलधन पर ही गणना किया जाए, तो उसे साधारण ब्याज कहते हैं।
• मुख्य शब्दावली:
• मूलधन (Principal - P): उधार ली गई या दी गई मूल राशि।
• दर (Rate - R): प्रति वर्ष सैकड़े पर लगने वाला ब्याज (% वार्षिक)।
• समय (Time - T): जितने वर्षों के लिए धन उधार दिया गया हो।
• मिश्रधन (Amount - A): मूलधन और ब्याज का कुल योग।
• महत्वपूर्ण सूत्र:

1. साधारण ब्याज (SI):

$$\text{SI} = \frac{P \times R \times T}{100}$$

2. मिश्रधन (A):

$$\text{मिश्रधन (A)} = \text{मूलधन (P)} + \text{ब्याज (SI)}$$

अतः, $A = P + \text{SI}$