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घातांक और घात

Subject: गणित | Class: Class 7 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)
अध्याय: घातांक और घात (Exponents and Powers) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स

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मुख्य परिभाषाएँ (Key Definitions)

1. घातांक (Exponent): घातांक यह दर्शाता है कि किसी संख्या (आधार) को स्वयं से कितनी बार गुणा किया गया है।

उदाहरण के लिए: a^n में, a आधार (Base) है और n घातांक (Exponent) या घात है। इसे "a की घात n" पढ़ा जाता है।


2. विस्तृत रूप (Expanded Form): किसी संख्या को उसकी घातों के गुणनफल के रूप में लिखना।

उदाहरण: 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6


3. मानक रूप (Standard Form / Scientific Notation): किसी बड़ी संख्या को k × 10^n के रूप में लिखना, जहाँ 1 ≤ k < 10 और n एक पूर्णांक है।


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घातांक के नियम (Laws of Exponents)

मान लीजिए कि a और b शून्यतर (Non-zero) परिमेय संख्याएँ हैं तथा m और n पूर्णांक हैं।


1. समान आधार वाले गुणा का नियम (Multiplying Powers with the Same Base):

a^m × a^n = a^(m + n)

(आधार समान होने पर घातें जुड़ जाती हैं।)


2. समान आधार वाले भाग का नियम (Dividing Powers with the Same Base):

a^m ÷ a^n = a^(m - n) (जहाँ m > n)

(आधार समान होने पर भाग करते समय घातें घट जाती हैं।)


3. घात की घात का नियम (Power of a Power):

(a^m)^n = a^(m × n)

(घात के ऊपर घात होने पर उनका आपस में गुणा हो जाता है।)


4. समान घात वाले गुणा का नियम (Multiplying Powers with the Same Exponents):

a^m × b^m = (a × b)^m

(घात समान होने पर आधारों का गुणा हो जाता है।)


5. समान घात वाले भाग का नियम (Dividing Powers with the Same Exponents):

a^m ÷ b^m = (a / b)^m


6. शून्य घात का नियम (Zero Exponent):

a^0 = 1

(किसी भी शून्यतर संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान हमेशा 1 होता है।)

उदाहरण: 5^0 = 1, (-7)^0 = 1


7. ऋणात्मक घातांक (Negative Exponents):

a^(-m) = 1 / a^m

(ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने के लिए आधार का व्युत्क्रम (Reciprocal) लिया जाता है।)


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महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points to Remember)

उदाहरण: (-1)^2 = 1


उदाहरण: (-1)^3 = -1


माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 घातांक और घात
Overview
घातांक का परिचय आधार और घातांक क्या हैं उदाहरण: $2^5$ (आधार 2, घातांक 5) पढ़ने का तरीका: "2 की घात 5" घातांक के नियम समान आधारों का गुणा: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ समान आधारों का भाग: $a^m \div a^n = a^{m-n}$ घात की घात: $(a^m)^n = a^{m \times n}$ समान घातांकों का गुणा: $a^m \times b^m = (ab)^m$ शून्य घात नियम: $a^0 = 1$ बड़ी संख्याओं को मानक रूप में लिखना वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation) दशमलव का उपयोग 10 की घात के रूप में व्यक्त करना दैनिक जीवन में उपयोग बहुत बड़ी संख्याएं (जैसे: ब्रह्मांड का आकार, पृथ्वी का द्रव्यमान) बहुत छोटी संख्याएं (जैसे: बैक्टीरिया का आकार) तुलना करना और सरल बनाना
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. $3^2$ और $2^3$ का गुणनफल क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): पहले $3^2 = 9$ और $2^3 = 8$ का मूल्यांकन करें। फिर उनका गुणनफल ज्ञात करें: $9 \times 8 = 72$। सही विकल्प 72 है।
Q2. निम्नलिखित में से कौन सा 1000 के बराबर है? 1 Marks
उत्तर (Answer): 1000 में शून्यों की संख्या गिनने पर, तीन शून्य हैं, जिन्हें $10 \times 10 \times 10 = 10^3$ के रूप में लिखा जा सकता है। सही विकल्प $10^3$ है।
Q3. व्यंजक $7^3$ में, 7 को क्या कहा जाता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): घातीय व्यंजक $a^m$ में, संख्या $a$ आधार को दर्शाती है। अतः 7 आधार है। सही विकल्प आधार है।
Q4. व्यंजक $2^5$ में, 5 को क्या कहा जाता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): एक घातीय व्यंजक $a^m$ में, $a$ आधार है और $m$ घातांक या घात है। इसलिए, 5 को घातांक कहा जाता है। सही विकल्प घातांक है।
Q5. सरल कीजिए: $\frac{2^8}{2^5}$। 1 Marks
उत्तर (Answer): घातांक के भाग नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ होता है। अतः $\frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3$ है। सही विकल्प $2^3$ है।
Q6. $(2^0 \times 3^0 \times 4^0)$ का मान ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): चूकि $2^0 = 1$, $3^0 = 1$, और $4^0 = 1$ है, इन्हें गुणा करने पर $1 \times 1 \times 1 = 1$ प्राप्त होता है। सही विकल्प 1 है।
Q7. $(2^0 + 3^0 + 4^0)$ का मान क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): चूकि किसी भी संख्या की घात शून्य 1 होती है, $2^0 = 1$, $3^0 = 1$, और $4^0 = 1$ है। इन्हें जोड़ने पर $1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है। सही विकल्प 3 है।
Q8. सरल कीजिए: $a^m \times b^m$। 1 Marks
उत्तर (Answer): घातांक के नियमों के अनुसार, जब आधार भिन्न होते हैं लेकिन घातांक समान होते हैं, तो $a^m \times b^m = (ab)^m$ होता है। सही विकल्प $(ab)^m$ है।
Q9. 432 को मानक रूप में व्यक्त कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): 432 को मानक रूप में लिखने के लिए, पहले अंक के बाद दशमलव लगाएं और 10 की उचित घात से गुणा करें: $4.32 \times 10^2$। सही विकल्प $4.32 \times 10^2$ है।
Q10. $4.53 \times 10^4$ का विस्तारित रूप क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): $4.53$ को $10^4$ (जो कि 10000 है) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु दाईं ओर 4 स्थान खिसक जाता है, जिससे $45300$ प्राप्त होता है। सही विकल्प 45300 है।
Q11. मूल्यांकन कीजिए: $2^3 \times 5^2$। 1 Marks
उत्तर (Answer): पहले, प्रत्येक भाग की गणना करें: $2^3 = 8$ और $5^2 = 25$। फिर, उन्हें गुणा करें: $8 \times 25 = 200$। सही विकल्प 200 है।
Q12. सरल कीजिए: $(2^3)^2$। 1 Marks
उत्तर (Answer): घातांक के घात नियम का उपयोग करते हुए, $(a^m)^n = a^{m \times n}$ होता है। अतः $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$ है। सही विकल्प $2^6$ है।
Q13. कौन सा बड़ा है: $2^3$ या $3^2$? 1 Marks
उत्तर (Answer): यहाँ, $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ और $3^2 = 3 \times 3 = 9$ है। चूकि $9 > 8$ है, इसलिए $3^2$, $2^3$ से बड़ा है। सही विकल्प $3^2$ है।
Q14. $(-1)^{33}$ का मान क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): जब किसी ऋणात्मक संख्या को विषम घात से उठाया जाता है, तो परिणाम ऋणात्मक होता है। चूकि 33 एक विषम संख्या है, $(-1)^{33} = -1$ होता है। सही विकल्प -1 है।
Q15. $(-1)^{50}$ का मान क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): जब किसी ऋणात्मक संख्या को सम घात से उठाया जाता है, तो परिणाम धनात्मक होता है। चूकि 50 एक सम संख्या है, $(-1)^{50} = 1$ होता है। सही विकल्प 1 है।
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