कक्षा 8 गणित - त्वरित दोहराव एवं सूत्र शीट
अध्याय: घन और घनमूल (Cube and Cube Roots)
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1. घन (Cube) क्या है?
- परिभाषा: जब किसी संख्या को स्वयं से ही तीन बार गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल उस संख्या का घन कहलाता है।
- सामान्य सूत्र: यदि कोई संख्या $a$ है, तो $a$ का घन $= a^3 = a \times a \times a$
- उदाहरण:
- $3$ का घन $= 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
- $5$ का घन $= 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
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2. पूर्ण घन संख्या (Perfect Cube)
- परिभाषा: एक प्राकृत संख्या को पूर्ण घन तब कहा जाता है, जब वह किसी प्राकृत संख्या का घन हो।
- महत्वपूर्ण नियम: यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक गुणनखंड 3-3 के समूह (त्रिक / Triplet) में आता है, तो वह संख्या एक पूर्ण घन होती है।
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3. घन संख्याओं के मुख्य गुणधर्म (Properties of Cubes)
1. सम और विषम संख्याएँ:
- सम संख्या का घन हमेशा सम होता है। (उदा. $4^3 = 64$)
- विषम संख्या का घन हमेशा विषम होता है। (उदा. $5^3 = 125$)
2. ऋणात्मक संख्या का घन:
- ऋणात्मक संख्या का घन हमेशा ऋणात्मक ही होता है।
- सूत्र: $(-a)^3 = -a^3$ (उदा. $(-2)^3 = -8$)
3. शून्य का नियम:
- यदि किसी संख्या के अंत में $1$ शून्य है, तो उसके घन के अंत में $3$ शून्य होंगे।
4. इकाई अंक का नियम:
- संख्या का इकाई अंक $1, 4, 5, 6, 9, 0$ होने पर उसके घन का इकाई अंक भी क्रमशः वही रहता है।
- यदि संख्या का इकाई अंक $2$ है, तो घन का इकाई अंक $8$ होगा (और $8$ का $2$ होगा)।
- यदि संख्या का इकाई अंक $3$ है, तो घन का इकाई अंक $7$ होगा (और $7$ का $3$ होगा)।
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4. 1 से 10 तक की संख्याओं के घन (स्मरण तालिका)
| संख्या ($n$) | घन ($n^3$) |
| :--- | :--- |
| $1$ | $1^3 = 1$ |
| $2$ | $2^3 = 8$ |
| $3$ | $3^3 = 27$ |
| $4$ | $4^3 = 64$ |
| $5$ | $5^3 = 125$ |
| $6$ | $6^3 = 216$ |
| $7$ | $7^3 = 343$ |
| $8$ | $8^3 = 512$ |
| $9$ | $9^3 = 729$ |
| $10$ | $10^3 = 1000$ |
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5. घनमूल (Cube Root)
- परिभाषा: घनमूल, घन निकालने की विपरीत प्रक्रिया (Inverse Operation) है।
- संकेत/प्रतीक: घनमूल को
∛ या घात 1/3 से दर्शाया जाता है।
- यदि $a^3 = b$, तो $b$ का घनमूल $= \sqrt[3]{b} = a$ या $b^{1/3} = a$
- उदाहरण: चूँकि $4^3 = 64$, इसलिए $\sqrt[3]{64} = 4$
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6. घनमूल ज्ञात करने की विधियाँ
#### विधि 1: अभाज्य गुणनखंडन विधि (Prime Factorization Method)
1. दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड कीजिए।
2. समान गुणनखंडों के 3-3 के समूह (त्रिक) बनाइए।
3. प्रत्येक त्रिक में से एक-एक संख्या लेकर उनका आपस में गुणा कीजिए।
- उदाहरण: $216$ का घनमूल ज्ञात करना:
- $216 = (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3)$
- $\sqrt[3]{216} = 2 \times 3 = 6$
#### विधि 2: अनुमान विधि (Estimation Method)
1. संख्या को इकाई के अंक से शुरू करते हुए 3-3 अंकों के समूहों में बाँटिए।
2. पहला समूह (इकाई की तरफ से): घनमूल का इकाई अंक देता है।
3. दूसरा समूह: यह देखता है कि यह समूह किन दो घन संख्याओं के बीच में आता है, उसमें से छोटी संख्या का घनमूल दहाई का अंक बनता है।
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7. महत्वपूर्ण सूत्र एवं बीजगणितीय नियम
- $\sqrt[3]{a \times b} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}$
- $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ (जहाँ $b \neq 0$)
- $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$
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8. परीक्षा उपयोगी मुख्य प्रश्न-प्रकार (Exam Tips)
1. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करना जिससे गुणा करने पर संख्या पूर्ण घन बन जाए:
- अभाज्य गुणनखंडन करें। जिस संख्या का त्रिक (3 का जोड़ा) अधूरा है, उसे पूरा करने के लिए आवश्यक गुणनफल ही उत्तर होगा।
2. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करना जिससे भाग देने पर संख्या पूर्ण घन बन जाए:
- अभाज्य गुणनखंडन करें। जो संख्या त्रिक बनाने से अतिरिक्त (अकेली) बच जाती है, उससे भाग दिया जाता है।