संख्या पद्धति

कक्षा 9 गणित - अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number Systems) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स

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### मुख्य परिभाषाएँ और संख्या के प्रकार

1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers - N):

गिनती की सभी संख्याओं को प्राकृतिक संख्याएँ कहते हैं।

• N = {1, 2, 3, 4, ...}

2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers - W):

प्राकृतिक संख्याओं में शून्य (0) को मिलाने पर जो संख्या समूह बनता है, उसे पूर्ण संख्याएँ कहते हैं।

• W = {0, 1, 2, 3, ...}

3. पूर्णांक (Integers - Z):

सभी पूर्ण संख्याएँ और उनकी ऋणात्मक संख्याएँ मिलकर पूर्णांक बनाती हैं।

• Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

4. परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers - Q):

ऐसी संख्या जिन्हें p / q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।

• उदाहरण: 3/4, -5/7, 0, 5 (क्योंकि 5 को 5/1 लिख सकते हैं)।

5. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers):

ऐसी संख्याएँ जिन्हें p / q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, उनका दशमलव प्रसार अनवसानी (Non-terminating) और अनावर्ती (Non-recurring) होता है।

• उदाहरण: √2, √3, π (पाई)।

6. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers - R):

सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु द्वारा निरूपित किया जाता है।

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### परिमेय संख्याओं के गुण

• दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त (Infinite) परिमेय संख्याएँ होती हैं।
• यदि r और s दो परिमेय संख्याएँ हैं, तो (r + s) / 2 उनके बीच की एक परिमेय संख्या है।

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### वास्तविक संख्याओं के घातांक नियम (Laws of Exponents for Real Numbers)

माना a > 0 एक वास्तविक संख्या है और m, n परिमेय संख्याएँ हैं, तब:

1. a^m · a^n = a^(m + n) (आधार समान होने पर घातें जुड़ जाती हैं)

2. (a^m)^n = a^(m · n)

3. (a^m) / (a^n) = a^(m - n) (जहाँ m > n)

4. a^m · b^m = (a · b)^m (घातांक समान होने पर आधार गुना हो जाते हैं)

5. a^0 = 1 (किसी भी संख्या की घात 0 होने पर उसका मान 1 होता है, a ≠ 0)

6. 1 / (a^n) = a^(-n)

7. n√(a) = a^(1/n)

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### हर का परिमेयकरण (Rationalization of Denominators)

किसी भिन्न के हर में यदि अपरिमेय संख्या हो, तो उसे अंश और हर में उचित संख्या से गुणा करके परिमेय बनाया जाता है:

1. 1 / √a = (√a) / a

2. 1 / (√a + b) = (√a - b) / (a - b^2)

3. 1 / (√a + √b) = (√a - √b) / (a - b)

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### महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ (Important Identities)

यदि a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, तो:

1. √(ab) = √a · √b

2. √(a / b) = √a / √b

3. (√a + √b)(√a - √b) = a - b

4. (a + √b)(a - √b) = a^2 - b

5. (√a + √b)^2 = a + 2√(ab) + b