मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 9: गणित - दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स
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### 1. रैखिक समीकरण की परिभाषा (Definition of Linear Equation)
- एक ऐसा समीकरण जिसे
ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं (a^2 + b^2 ≠ 0), दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहलाता है।
- यहाँ
x और y दो चर (Variables) हैं।
### 2. दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल (Solutions of a Linear Equation)
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल संख्याओं का एक ऐसा युग्म (Pair) होता है (अर्थात
x और y का मान), जो उस समीकरण को संतुष्ट करता है (यानी बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष)।
- महत्वपूर्ण बिंदु: दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक (Infinitely Many) हल होते हैं।
### 3. रैखिक समीकरण का ग्राफ (Graph of a Linear Equation in Two Variables)
- दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का ग्राफ (आलेख) एक सरल रेखा (Straight Line) होता है।
- समीकरण
ax + by + c = 0 का आलेख खींचने के लिए कम से कम दो ऐसे बिंदुओं की आवश्यकता होती है जो उस समीकरण को संतुष्ट करते हों।
- अक्षों (Axes) के समीकरण:
x-अक्ष का समीकरण: y = 0y-अक्ष का समीकरण: x = 0
### 4. अक्षों के समांतर रेखाएँ (Lines Parallel to the Axes)
x-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण: y = k (जहाँ k एक अचर है)y-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण: x = k (जहाँ k एक अचर है)
### 5. मूल बिन्दु से गुजरने वाली रेखाएँ (Lines Passing through the Origin)
- मूल बिन्दु (Origin
0, 0) से गुजरने वाले रैखिक समीकरण का रूप ax + by = 0 होता है।
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📍 दो चरों वाले रैखिक समीकरण
परिचय
रैखिक समीकरण की परिभाषा
दो चरों का अर्थ
मानक रूप: $ax + by + c = 0$
रैखिक समीकरण के हल
एक चर वाले समीकरण से तुलना
दो चरों वाले समीकरण में हल का युग्م $(x, y)$
अपरिमित रूप से अनेक हल होना
कार्तीय तल और आलेख (ग्राफ़)
निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग
समीकरण का आलेख खींचना
सरल रेखा के रूप में ग्राफ प्राप्त होना
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समांतर रेखाएँ
$x = a$ रूप का समीकरण
$y = a$ रूप का समीकरण
अक्षों पर समीकरणों का निरूपण
महत्वपूर्ण बिंदु और निष्कर्ष
रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होता है
रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण का एक हल होता है
समीकरण का प्रत्येक हल रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
उत्तर (Answer): बिंदु $(2, 5)$ में $x = 2$ और $y = 5$ रखकर जाँच कीजिए: $5 = 2(2) + 1 \implies 5 = 5$, जो कि सत्य है। अतः $(2, 5)$ रेखा पर स्थित है।
उत्तर (Answer): समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x - 12 = 3y \implies y = \frac{2x - 12}{3} = \frac{2}{3}x - 4$।
उत्तर (Answer): दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, जो इसके द्वारा निरूपित सरल रेखा पर अनंत बिंदुओं के संगत होते हैं।
उत्तर (Answer): $5x - 2y = 10$ को व्यवस्थित करने पर: $2y = 5x - 10 \Rightarrow y = \frac{5}{2}x - 5$ प्राप्त होता है। $y = mx + c$ से तुलना करने पर $c = -5$ मिलता है।
उत्तर (Answer): ग्राफ x-अक्ष को कहाँ काटता है, यह ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखिए। तब $3x + 4(0) = 12 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(4, 0)$ है।
उत्तर (Answer): ग्राफ y-अक्ष को कहाँ काटता है, यह ज्ञात करने के लिए $x = 0$ रखिए। तब $0 + 2y = 6 \Rightarrow y = 3$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(0, 3)$ है।
उत्तर (Answer): $2x = -5y$ को $2x + 5y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर, $a = 2, b = 5, c = 0$ प्राप्त होता है। अतः $b = 5$ है।
उत्तर (Answer): y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए, y-अक्ष का समीकरण $x = 0$ है।
उत्तर (Answer): According to the statement, father's age ($x$) = 3 $\times$ son's age ($y$). Therefore, the equation is $x = 3y$ or $x - 3y = 0$.
उत्तर (Answer): Comparing $2x + 5y + 0 = 0$ with $ax + by + c = 0$, we get $a = 2$, $b = 5$, and $c = 0$.
उत्तर (Answer): An equation of the form $y = k$ (where $k$ is a constant) represents a line parallel to the x-axis.
उत्तर (Answer): A linear equation in two variables has infinitely many solutions. For every value of $x$, there is a corresponding value of $y$ that satisfies the equation.
उत्तर (Answer): विकल्पों में $x = 2$ और $y = 1$ रखें। $2x + 3y = 7$ के लिए: $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$, जो सही है।
उत्तर (Answer): ग्राफ x-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y = 0$ होता है। $x + y = 5$ में $y = 0$ रखने पर $x + 0 = 5 \Rightarrow x = 5$ प्राप्त होता है। अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(5, 0)$ है।
उत्तर (Answer): प्रत्येक समीकरण में बिंदु $(2, 3)$ की जाँच करें। $x + y = 5$ के लिए, $x = 2$ और $y = 3$ रखने पर $2 + 3 = 5$ प्राप्त होता है, जो सही है।