त्रिभुज

Q1. $\Delta PQR$ में, यदि $\angle R = \angle P$, $QR = 4\text{ cm}$ और $PR = 5\text{ cm}$ है, तो भुजा $PQ$ की लंबाई है: 1 Marks

उत्तर (Answer): $\Delta PQR$ में, दिया गया है कि $\angle R = \angle P$ है। \nसमद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, किसी त्रिभुज में बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। \nइसलिए, $$PQ = QR$$ \nचूँकि $QR = 4\text{ cm}$ दिया गया है, अत: $$PQ = 4\text{ cm}$$ \nअतः सही विकल्प **A** है।

Q2. यदि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ SAS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य होना आवश्यक है? 1 Marks

उत्तर (Answer): SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों। जब $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ SAS द्वारा है, तो सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होते हैं। विशेष रूप से, भुजाओं $AB$ और $AC$ के बीच का सम्मिलित कोण $\angle A$ है, और भुजाओं $PQ$ और $PR$ के बीच का सम्मिलित कोण $\angle P$ है। इसलिए, $\angle A = \angle P$, साथ ही $AB = PQ$ और $AC = PR$ हैं। अतः, सही विकल्प $\angle A = \angle P$ है।

Q3. एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयाँ $5\text{ सेमी}$ और $1.5\text{ सेमी}$ हैं। त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई निम्नलिखित में से क्या नहीं हो सकती? 1 Marks

उत्तर (Answer): त्रिभुज की असमिका गुणधर्मों के अनुसार: 1. किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। 2. तीसरी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के अंतर से बड़ी होनी चाहिए। \nयहाँ: - दी गई भुजाओं का अंतर $= 5 - 1.5 = 3.5\text{ सेमी}$ - दी गई भुजाओं का योग $= 5 + 1.5 = 6.5\text{ सेमी}$ \nइसलिए, तीसरी भुजा $x$ का मान इस प्रकार होना चाहिए: $$3.5\text{ सेमी} < x < 6.5\text{ सेमी}$$ \nचूँकि $3.4\text{ सेमी}$, $3.5\text{ सेमी}$ से कम है, अतः तीसरी भुजा की लंबाई $3.4\text{ सेमी}$ नहीं हो सकती।

Q4. $\triangle ABC$ में, $AB = AC$ और $\angle A = 80^\circ$ है। $\angle B$ की माप क्या होगी? 1 Marks

उत्तर (Answer): $\triangle ABC$ में, चूँकि $AB = AC$ है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे: $$\angle B = \angle C$$ \nत्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$80^\circ + \angle B + \angle B = 180^\circ$$ $$2\angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$ $$\angle B = 50^\circ$$

Q5. $\triangle PQR$ में, यदि $\angle R = \angle P$, $QR = 4\text{ सेमी}$ और $PR = 5\text{ सेमी}$ है, तो $PQ$ की लंबाई होगी: 1 Marks

उत्तर (Answer): $\triangle PQR$ में, $\angle R$ की सम्मुख भुजा $PQ$ है, तथा $\angle P$ की सम्मुख भुजा $QR$ है। \nचूँकि त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं: $$\angle R = \angle P \implies PQ = QR$$ \nदिया गया है $QR = 4\text{ सेमी}$, अतः: $$PQ = 4\text{ सेमी}$$

Q6. $\Delta ABC$ में, $\angle A = 70^\circ$ और $\angle B = 30^\circ$ है। त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कौन सी है? 1 Marks

उत्तर (Answer): सही उत्तर: **$AB$** **गणना:**\nत्रिभुज के तीनों कोणों का योग = $180^\circ$ $$\angle C = 180^\circ - (70^\circ + 30^\circ) = 80^\circ$$ \nयहाँ, कोण हैं $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, और $\angle C = 80^\circ$।\nसबसे बड़ा कोण $\angle C = 80^\circ$ है।\nचूँकि सबसे बड़े कोण की सम्मुख भुजा सबसे लंबी होती है, इसलिए $\angle C$ की सम्मुख भुजा **$AB$** सबसे लंबी होगी।

Q7. दो समकोण त्रिभुजों $\Delta ABC$ और $\Delta DEF$ में, यदि कर्ण $AC = DF$ और भुजा $BC = EF$ है, तो $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ किस सर्वांगसमता नियम से होगा? 1 Marks

उत्तर (Answer): सही उत्तर: **RHS (समकोण-कर्ण-भुजा)** **व्याख्या:**\nRHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता नियम के अनुसार, यदि दो समकोण त्रिभुजों में एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा, दूसरे त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा के बराबर हो, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

Q8. यदि $\Delta ABC \cong \Delta PQR$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है? 1 Marks

उत्तर (Answer): सही उत्तर: **$AC = PQ$** **व्याख्या:**\nजब दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (CPCT - सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं): - $AB = PQ$ - $BC = QR$ - $AC = PR$ \nइसलिए, $AC = PQ$ असत्य है क्योंकि भुजा $AC$ की संगत भुजा $PR$ है, न कि $PQ$।

Q9. $\Delta ABC$ में, यदि $AB = AC$ और $\angle B = 50^\circ$ है, तो $\angle A$ का माप क्या होगा? 1 Marks

उत्तर (Answer): सही उत्तर: **$80^\circ$** **गणना:** $\Delta ABC$ में, चूँकि $AB = AC$ है, इसलिए बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।\nइसलिए, $\angle C = \angle B = 50^\circ$ होगा। \nत्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$\angle A + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ$$ $$\angle A + 100^\circ = 180^\circ$$ $$\angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$

Q10. यदि $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है? 1 Marks

उत्तर (Answer): जब दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, जिन्हें प्रतीक $\cong$ द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसका मतलब है कि वे आकार और माप में समान हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों की परिभाषा के अनुसार, उनकी सभी संगत भुजाएँ और संगत कोण बराबर होते हैं। सर्वांगसमता कथन $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ में अक्षरों का क्रम शीर्षों के बीच की सटीक संगतता को निर्दिष्ट करता है: शीर्ष $P$ का संगत $X$ है, शीर्ष $Q$ का संगत $Y$ है, और शीर्ष $R$ का संगत $Z$ है। इसलिए, संगत भुजाएँ $PQ = XY$, $QR = YZ$, और $PR = XZ$ हैं। संगत कोण $\angle P = \angle X$, $\angle Q = \angle Y$, और $\angle R = \angle Z$ हैं। विकल्पों को देखने पर, $PR = XZ$ सत्य है, $\angle Q = \angle Y$ सत्य है, और $QP = YX$ (जो $PQ = XY$ के समान है) सत्य है। हालांकि, कथन $\angle P = \angle Y$ गैर-संगत कोणों को गलत तरीके से जोड़ता है क्योंकि शीर्ष $P$ का संगत शीर्ष $X$ है, $Y$ नहीं। इसलिए, कथन $\angle P = \angle Y$ सत्य नहीं है।

Q11. $\triangle ABC$ में, यदि $AB = AC$ और $\angle B = 70^\circ$ है, तो $\angle A$ का माप है: 1 Marks

उत्तर (Answer): $\triangle ABC$ में, हमें दिया गया है कि $AB = AC$ है। समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय के अनुसार, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। इसलिए, भुजा $AB$ का सम्मुख कोण $\angle C$ है और भुजा $AC$ का सम्मुख कोण $\angle B$ है। चूकि $\angle B = 70^\circ$ है, इसका अर्थ है कि $\angle C$ भी $70^\circ$ होगा। अब, त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए, एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $180^\circ$ होता है। इस प्रकार, हम समीकरण लिख सकते हैं: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$। इस समीकरण में मान रखने पर, $\angle A + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ$, जो सरल होकर $\angle A + 140^\circ = 180^\circ$ बनता है। $\angle A$ का मान ज्ञात करने पर, $\angle A = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ प्राप्त होता है। अतः, सही विकल्प $40^\circ$ है।

Q12. एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में दोनों न्यून कोणों के माप क्या होते हैं? 1 Marks

उत्तर (Answer): एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में एक कोण $90^\circ$ होता है और शेष दो कोण आपस में बराबर होते हैं।\nमाना प्रत्येक बराबर न्यून कोण $x$ है। $$90^\circ + x + x = 180^\circ$$ $$2x = 90^\circ$$ $$x = 45^\circ$$ \nअतः दोनों न्यून कोण $45^\circ$ और $45^\circ$ होते हैं।

Q13. एक त्रिभुज का बाह्य कोण $110^\circ$ है। यदि इसका एक सम्मुख आंतरिक कोण $45^\circ$ है, तो दूसरे सम्मुख आंतरिक कोण का माप क्या होगा? 1 Marks

उत्तर (Answer): **बाह्य कोण प्रमेय** के अनुसार, किसी त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दोनों सम्मुख आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है। $$\text{बाह्य कोण} = \text{कोण } 1 + \text{कोण } 2$$ $$110^\circ = 45^\circ + x$$ $$x = 110^\circ - 45^\circ = 65^\circ$$ \nअतः दूसरा सम्मुख आंतरिक कोण $65^\circ$ है।

Q14. यदि एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $18\text{ cm}$ है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी? 1 Marks

उत्तर (Answer): एक समबाहु त्रिभुज के लिए, तीनों भुजाओं की लंबाई ($a$) बराबर होती है। $$\text{परिमाप} = 3a = 18\text{ cm}$$ $$a = \frac{18}{3} = 6\text{ cm}$$ \nअतः प्रत्येक भुजा की लंबाई $6\text{ cm}$ है।

Q15. यदि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$, $\angle A = 50^\circ$, और $\angle B = 60^\circ$ है, तो $\angle R$ का माप क्या होगा? 1 Marks

उत्तर (Answer): सबसे पहले $\triangle ABC$ में $\angle C$ ज्ञात करें: $$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$$ $$\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ \nक्योंकि $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ है, CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) के अनुसार: $$\angle R = \angle C = 70^\circ$$

अध्याय: त्रिभुज (Triangles) - त्वरित रिवीजन नोट्स

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions)

त्रिभुजों की सर्वांगसमता के नियम (Criteria for Congruence of Triangles)

त्रिभुजों के गुणधर्म (Properties of Triangles)