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हीरोन का सूत्र

Subject: गणित | Class: Class 9 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)
कक्षा 9 - गणित

#### अध्याय: हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) - त्वरित पुनरीक्षण नोट्स


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### 1. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle - Basic Formula)

सामान्यतः, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार और ऊँचाई (शीर्षलंब) का उपयोग किया जाता है:


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### 2. विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Scalene Triangle)

जब किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ अलग-अलग माप की होती हैं और उसकी ऊँचाई (Height) ज्ञात नहीं होती है, तब हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं।


मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं।


#### परिमाप (Perimeter):

त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं का योग होता है।


#### अर्ध-परिमाप (Semi-Perimeter, s):

परिमाप का आधा भाग अर्ध-परिमाप कहलाता है, जिसे s से दर्शाया जाता है।


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### 3. हीरोन का सूत्र (Heron's Formula)

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रसिद्ध सूत्र निम्नलिखित है:



यहाँ:


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### 4. विशेष त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Area of Special Triangles using Heron's Formula)

#### (क) समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle):

यदि किसी समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा a हो:


#### (द) समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):

यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ a हों और तीसरी असमान भुजा b हो:


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### 5. महत्वपूर्ण बिंदु और परीक्षा के लिए टिप्स (Important Tips for Exam)

1. इकाइयाँ (Units): क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाइयों (Square units) में लिखा जाता है (जैसे कि cm^2, m^2)। यदि भुजाओं की इकाइयां सेंटीमीटर में हैं, तो उत्तर cm^2 में होगा।

2. मात्रक की एकरूपता: गणना करने से पहले यह सुनिश्चित कर लें कि त्रिभुज की सभी भुजाओं की इकाइयाँ (Units) एक जैसी हों (या तो सभी मीटर में हों या सभी सेंटीमीटर में)।

3. वर्गमूल निकालना: s(s - a)(s - b)(s - c) का गुणनखंड (Factors) बनाकर वर्गमूल आसानी से निकाला जा सकता है, पूरी संख्या को गुणा करने से बचें ताकि गणना सरल हो सके।

माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 हीरोन का सूत्र
Overview
त्रिभुजों के क्षेत्रफल के मूल प्रकार समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज विषमबाहु त्रिभुज समकोण त्रिभुज क्षेत्रफल निकालने की सामान्य विधि सूत्र: $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सीमा: जब ऊंचाई ज्ञात न हो हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) परिचय यूनान के गणितज्ञ हीरोन द्वारा प्रतिपादित त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर उपयोगी अर्ध-परिमाप ($s$) निकालना सूत्र: $s = \frac{a + b + c}{2}$ $a, b, c$: त्रिभुज की भुजाएँ क्षेत्रफल का मुख्य सूत्र सूत्र: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ हीरोन के सूत्र के अनुप्रयोग विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करना चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करना दोनों त्रिभुजों का अलग-अलग क्षेत्रफल निकालना दोनों क्षेत्रफलों को आपस में जोड़ना महत्वपूर्ण बिंदु एवं सावधानियाँ भुजाओं की इकाइयाँ समान होनी चाहिए $s$ का मान हमेशा सबसे बड़ी भुजा से बड़ा होता है वर्गमूल निकालते समय गुणनखंड विधि का प्रयोग
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. $2\sqrt{3}\text{ सेमी}$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(12) = 3\sqrt{3}\text{ सेमी}^2$।
Q2. जब हीरोन के सूत्र का उपयोग नहीं किया जाता है, तो आधार $b$ और संगत शीर्षलंब $h$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): आधार और शीर्षलंब दिए जाने पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का मानक सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2}bh$ है।
Q3. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ $13\text{ सेमी}$, $14\text{ सेमी}$ और $15\text{ सेमी}$ हैं, तो इसका अर्ध-परिमाप क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\text{ सेमी}$।
Q4. उस त्रिभुज का अर्ध-परिमाप क्या है जिसकी भुजाएँ $x$, $y$ और $z$ हैं? 1 Marks
उत्तर (Answer): त्रिभुज का अर्ध-परिमाप उसके परिमाप का आधा होता है, जो $\frac{x+y+z}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
Q5. $9\text{ सेमी}$, $10\text{ सेमी}$ और $11\text{ सेमी}$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 1 Marks
उत्तर (Answer): $s = \frac{9+10+11}{2} = 15$। क्षेत्रफल = $\sqrt{15(15-9)(15-10)(15-11)} = \sqrt{15 \times 6 \times 5 \times 4} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}\text{ सेमी}^2$।
Q6. $a$ और $b$ समांतर भुजाओं तथा $h$ ऊँचाई वाले समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2}(a+b)h$ द्वारा दिया जाता है।
Q7. If the area of an equilateral triangle is $16\sqrt{3}\text{ cm}^2$, what is the length of its side? 1 Marks
उत्तर (Answer): Area = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 16\sqrt{3} \implies \frac{a^2}{4} = 16 \implies a^2 = 64 \implies a = 8\text{ cm}$.
Q8. उस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है जिसके विकर्ण $d_1$ और $d_2$ हैं? 1 Marks
उत्तर (Answer): समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है, अर्थात $\frac{1}{2}d_1 d_2$।
Q9. एक त्रिभुजाकार बगीचे का परिमाप $300\text{ मीटर}$ है और इसकी भुजाएँ $3:5:7$ के अनुपात में हैं। बगीचे का क्षेत्रफल क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): भुजाएँ $3x, 5x, 7x$ हैं। $3x+5x+7x=300 \implies 15x=300 \implies x=20$। भुजाएँ $60, 100, 140$ हैं। $s = 150$। क्षेत्रफल = $\sqrt{150(90)(50)(10)} = 1500\sqrt{3}\text{ मीटर}^2$।
Q10. उस समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई क्या है जिसकी भुजा $a$ है? 1 Marks
उत्तर (Answer): पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, ऊँचाई $h$ समबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिससे $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ प्राप्त होता है।
Q11. यदि किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाए, तो नए त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात क्या होगा? 1 Marks
उत्तर (Answer): जब भुजाओं को दोगुना कर दिया जाता है ($2a, 2b, 2c$), तो अर्ध-परिमाप $2s$ हो जाता है। नया क्षेत्रफल $\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)} = \sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4 \times \text{मूल क्षेत्रफल}$ होता है। अतः अनुपात $4:1$ है।
Q12. एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ $50\text{ मीटर}$, $65\text{ मीटर}$ और $65\text{ मीटर}$ हैं। मैदान का अर्ध-परिमाप क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): अर्ध-परिमाप $s = \frac{50 + 65 + 65}{2} = \frac{180}{2} = 90\text{ मीटर}$ है।
Q13. $a$ लंबाई की समान भुजाओं वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): $a$ आधार और $a$ ऊँचाई वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2}a^2$ होता है।
Q14. यदि किसी समबाहु त्रिभुज का परिमाप $60\text{ सेमी}$ है, तो इसका क्षेत्रफल क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): परिमाप = $60\text{ सेमी}$, इसलिए भुजा $a = \frac{60}{3} = 20\text{ सेमी}$। क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4}(20)^2 = 100\sqrt{3}\text{ सेमी}^2$।
Q15. उस गणितज्ञ का क्या नाम है जिसे किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के पदों में क्षेत्रफल का सूत्र प्रतिपादित करने के लिए जाना जाता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): सिकंदरिया के हीरो (या हीरोन) वे ग्रीक गणितज्ञ हैं जिन्होंने त्रिभुज की तीनों भुजाओं के संदर्भ में क्षेत्रफल का प्रसिद्ध सूत्र दिया था।
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