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पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Subject: गणित | Class: Class 9 | Syllabus Year: 2025-26
मुख्य सूत्र (Key Formulas)

त्वरित पुनरीक्षण नोट्स (Quick Revision Notes)

कक्षा: 9वीं

अध्याय: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

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परिचय (Introduction)

इस अध्याय में हम त्रिविमीय (3D) आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) और आयतन (Volume) ज्ञात करना सीखते हैं।


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1. घनाभ (Cuboid)

यदि घनाभ की लंबाई = l, चौड़ाई = b, और ऊँचाई = h हो, तो:


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2. घन (Cube)

यदि घन की भुजा की लंबाई = a हो, तो:


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3. लंब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder)

यदि बेलन की त्रिज्या = r और ऊँचाई = h हो, तो:

(नोट: जहाँ pi = 22/7 या 3.14 होता है)


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4. लंब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone)

यदि शंकु की त्रिज्या = r, ऊँचाई = h, और तिर्यक ऊँचाई (Slant Height) = l हो, तो:


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5. गोला (Sphere)

यदि गोले की त्रिज्या = r हो, तो:


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6. अर्द्धगो गोला (Hemisphere)

यदि अर्द्धगोले की त्रिज्या = r हो, तो:


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महत्वपूर्ण इकाइयाँ और रूपांतरण (Important Units & Conversions)
माइंड मैप चार्ट (Mind Map Chart)
📍 कक्षा 9 गणित: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
Overview
घनाभ और घन घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र: $2(lb + bh + hl)$ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2(l + b)h$ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र: $6a^2$ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल: $4a^2$ घनाभ और घन का आयतन घनाभ का आयतन: $l \times b \times h$ घन का आयतन: $a^3$ लंब वृत्तीय बेलन वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र: $2\pi rh$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र: $2\pi r(r + h)$ बेलन का आयतन सूत्र: $\pi r^2 h$ लंब वृत्तीय शंकु शंकु की तिर्यक ऊँचाई ($l$) सूत्र: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र: $\pi rl$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र: $\pi r(l + r)$ शंकु का आयतन सूत्र: $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ गोला और अर्द्धगोला गोला पृष्ठीय क्षेत्रफल: $4\pi r^2$ आयतन: $\frac{4}{3}\pi r^3$ अर्द्धगोला वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2\pi r^2$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: $3\pi r^2$ आयतन: $\frac{2}{3}\pi r^3$ महत्वपूर्ण शब्दावली और मात्रक विमाएँ ($l, b, h, r$) मात्रक क्षेत्रफल: वर्ग मात्रक ($cm^2, m^2$) आयतन: घन मात्रक ($cm^3, m^3$) धारिता लीटर और घन मीटर में संबंध ($1 m^3 = 1000$ लीटर)
महत्वपूर्ण बोर्ड प्रश्न (Important Board Questions)
Q1. त्रिज्या $1\text{ मीटर}$ और ऊँचाई $3.5\text{ मीटर}$ वाली बेलनाकार टंकी में कितने लीटर पानी आ सकता है? (नोट: $1\text{ मीटर}^3 = 1000\text{ लीटर}$, $\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें) 1 Marks
उत्तर (Answer): आयतन = $\pi r^2h = \frac{22}{7} \times (1)^2 \times 3.5 = \frac{22}{7} \times 3.5 = 11\text{ मीटर}^3$। लीटर में क्षमता = $11 \times 1000 = 11000\text{ लीटर}$।
Q2. यदि किसी लंब वृत्तीय बेलन का आयतन और आधार का क्षेत्रफल क्रमशः $300\text{ सेमी}^3$ और $75\text{ सेमी}^2$ है, तो बेलन की ऊँचाई है: 1 Marks
उत्तर (Answer): आयतन = आधार का क्षेत्रफल $\times$ ऊँचाई। इसलिए, ऊँचाई = $\frac{\text{आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{300}{75} = 4\text{ सेमी}$।
Q3. त्रिज्या $7\text{ सेमी}$ वाले ठोस अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें): 1 Marks
उत्तर (Answer): अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $3\pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 49 = 3 \times 22 \times 7 = 462\text{ सेमी}^2$।
Q4. $3\text{ सेमी}$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए ($\pi = 3.14$ का प्रयोग करें): 1 Marks
उत्तर (Answer): आयतन = $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (3)^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 27 = 4 \times 3.14 \times 9 = 113.04\text{ सेमी}^3$।
Q5. त्रिज्या $6\text{ सेमी}$ और ऊँचाई $7\text{ सेमी}$ वाले लंब वृत्तीय शंकु का आयतन है ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें): 1 Marks
उत्तर (Answer): आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 6^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7 = 22 \times 12 = 264\text{ सेमी}^3$।
Q6. त्रिज्या $7\text{ सेमी}$ और ऊँचाई $10\text{ सेमी}$ वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें): 1 Marks
उत्तर (Answer): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 2 \times 22 \times 10 = 440\text{ सेमी}^2$।
Q7. विमाओं $l = 5\text{ सेमी}, b = 4\text{ सेमी}, h = 3\text{ सेमी}$ वाले घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(lb + bh + hl) = 2(5\times4 + 4\times3 + 3\times5) = 2(20 + 12 + 15) = 2(47) = 94\text{ सेमी}^2$।
Q8. यदि किसी गोले की त्रिज्या आधी कर दी जाए, तो मूल गोले और नए गोले के आयतन का अनुपात क्या होगा? 1 Marks
उत्तर (Answer): मूल गोले का आयतन = $\frac{4}{3}\pi r^3$। नए गोले का आयतन (त्रिज्या $r/2$) = $\frac{4}{3}\pi (r/2)^3 = \frac{1}{8} \times \frac{4}{3}\pi r^3$। अनुपात $8:1$ है।
Q9. यदि किसी घन की भुजा को दोगुना कर दिया जाए, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल का कितने गुना हो जाता है? 1 Marks
उत्तर (Answer): मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6a^2$। यदि भुजा $2a$ हो जाती है, तो नया पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6(2a)^2 = 6(4a^2) = 4 \times (6a^2)$, जो मूल का 4 गुना है।
Q10. त्रिज्या 'r' और ऊँचाई 'h' वाले बेलन का आयतन क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): बेलन का आयतन वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल को उसकी ऊँचाई से गुणा करके निकाला जाता है, जो कि $\pi r^2h$ होता है।
Q11. शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l), त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) के बीच संबंध है: 1 Marks
उत्तर (Answer): शंकु की त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई द्वारा बने समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें $l^2 = r^2 + h^2$ प्राप्त होता है।
Q12. लंबाई l, चौड़ाई b और ऊंचाई h वाले घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है: 1 Marks
उत्तर (Answer): घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (चार दीवारों का क्षेत्रफल) सूत्र $2(l + b)h$ द्वारा दिया जाता है।
Q13. त्रिज्या 'r' वाले गोले का आयतन क्या है? 1 Marks
उत्तर (Answer): त्रिज्या 'r' वाले गोले का आयतन मानक सूत्र $\frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
Q14. ऊंचाई 'h' और आधार त्रिज्या 'r' वाले एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है: 1 Marks
उत्तर (Answer): लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र $2\pi rh$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ 'r' आधार की त्रिज्या है और 'h' बेलन की ऊँचाई है।
Q15. एक ठोस बेलन में पृष्ठों की संख्या होती है: 1 Marks
उत्तर (Answer): एक ठोस बेलन में 3 पृष्ठ होते हैं: 1 वक्र पार्श्व पृष्ठ और 2 समतल वृत्ताकार आधार (ऊपर और नीचे)। इसलिए, कुल पृष्ठों की संख्या 3 है। सही विकल्प 3 है।
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