समतल में गति

कक्षा 11 भौतिक विज्ञान

अध्याय: समतल में गति (Motion in a Plane) - त्वरित रिवीजन नोट्स

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### परिचय (Introduction)

समतल में गति का अर्थ है द्विविमीय गति (2D Motion), यानी ऐसी गति जिसमें वस्तु की स्थिति को दर्शाने के लिए दो निर्देशांकों (Coordinates) की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए: प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion) और वृत्तीय गति (Circular Motion)।

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### 1. अदिश और सदिश राशियाँ (Scalar and Vector Quantities)

• अदिश राशि: वे राशियाँ जिनमें केवल परिमाण (Magnitude) होता है, दिशा नहीं। जैसे: दूरी, चाल, द्रव्यमान, समय, कार्य आदि।
• सदिश राशि: वे राशियाँ जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और जो सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं। जैसे: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग आदि।

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### 2. सदिशों का योग (Addition of Vectors)

• त्रिभुज नियम (Triangle Law): यदि दो सदिशों को एक क्रम में दो भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो उनका परिणामी सदिश विपरीत क्रम में तीसरी भुजा द्वारा दर्शाया जाता है।
• समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law): यदि दो सदिशों A और B के बीच का कोण θ है, तो परिणामी सदिश R का परिमाण होगा:

R = √(A^2 + B^2 + 2AB cosθ)

• परिणामी सदिश की दिशा (α):

tan α = (B sinθ) / (A + B cosθ)

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### 3. सदिश का वियोजन (Resolution of a Vector)

यदि किसी सदिश R का x-अक्ष के साथ कोण θ है, तो उसके घटक (Components) होंगे:

• क्षैतिज घटक: Rx = R cosθ
• ऊर्ध्वाधर घटक: Ry = R sinθ
• सदिश का रूप: R = Rx i^ + Ry j^
• परिमाण: R = √(Rx^2 + Ry^2)

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### 4. आपेक्षिक वेग (Relative Velocity)

यदि दो वस्तुएं A और B क्रमशः वेग vA और vB से गति कर रही हैं, तो वस्तु A का B के सापेक्ष वेग होगा:

• vAB = vA - v_B

इसी प्रकार, वस्तु B का A के सापेक्ष वेग:

• vBA = vB - v_A

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### 5. प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion)

जब किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह से किसी कोण पर हवा में फेंका जाता है, तो वह गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में समतल में गति करती है। इसे प्रक्षेप्य गति कहते हैं।

माना किसी वस्तु को प्रारंभिक वेग u से क्षैतिज के साथ θ कोण पर फेंका जाता है:

• उड्डयन काल (Time of Flight - T):

प्रक्षेप्य को हवा में रहने में लगा कुल समय।

T = (2u sinθ) / g

• अधिकतम ऊँचाई (Maximum Height - H):

प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर दूरी।

H = (u^2 sin^2 θ) / (2g)

• क्षितिज परास (Horizontal Range - R):

प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल क्षैतिज दूरी।

R = (u^2 sin 2θ) / g

(नोट: R का मान अधिकतम तब होता है जब θ = 45°)

• प्रक्षेप्य पथ का समीकरण (Equation of Trajectory):

y = x tanθ - (g x^2) / (2 u^2 cos^2 θ)

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### 6. एक समान वृत्तीय गति (Uniform Circular Motion)

जब कोई वस्तु नियत चाल से किसी वृत्ताकार पथ पर गति करती है, तो उसे एकसमान वृत्तीय गति कहते हैं।

• कोणीय विस्थापन (θ): वृत्त के केंद्र पर बना कोण।

θ = s / r (चाप / त्रिज्या)

• कोणीय वेग (ω): कोणीय विस्थापन की दर।

ω = Δθ / Δt = 2π / T = 2πν

(जहाँ T = आवर्तकाल, ν = आवृत्ति)

• रेखीय वेग और कोणीय वेग में संबंध:

v = rω

• अभिकेंद्र त्वरण (Centripetal Acceleration - a_c):

यह त्वरण हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।

a_c = v^2 / r = ω^2 r

• अभिकेंद्र बल (Centripetal Force - F_c):

Fc = m ac = (m v^2) / r = m ω^2 r